四面体とベクトル

質問

四面体OABCの辺ABを4:5に内分する点をD,
辺OCを2:1に内分する点をE,
線分DEの中点をP、直線OPが平面ABCと交わる点をQとする。

（１）OA=a,OB=bOC=c(ベクトル）とおくとき、OPをa,b,c(ベクトル)で表せ。
また、OPとOQの大きさの比|OP|:|OQ|を最も簡単な比で表せ。

（２）△ABQと△ABCの面積比△ABQ：△ABCを最も簡単な比で表せ。

OPベクトルを求めたところで終わっています(><)

解ける方いらっしゃいましたら
解説お願いしますm(__)m

回答No.2

ferien

＞四面体OABCの辺ABを4:5に内分する点をD,
＞ 辺OCを2:1に内分する点をE,
＞ 線分DEの中点をP、直線OPが平面ABCと交わる点をQとする。

＞（１）OA=a,OB=bOC=c(ベクトル）とおくとき、OPをa,b,c(ベクトル)で表せ。
＞ また、OPとOQの大きさの比|OP|:|OQ|を最も簡単な比で表せ。
ＯＣ＝(2/3)ＯＣ＝(2/3)ｃ，　ＯＤ＝(5/9)ＯＡ＋(4/9)ＯＢ＝(5/9)ａ＋(4/9)ｂ
よって、
ＯＰ＝(1/2)ＯＤ＋(1/2)ＯＥ
＝(1/2)｛(5/9)ａ＋(4/9)ｂ｝＋(1/2)・(2/3)ｃ
＝(5/18)ａ＋(2/9)ｂ＋(1/3)ｃ
△ＡＢＣで、ＡＱとＢＣの交点をＲとする。
ＢＲ：ＲＣ＝ｔ：（１－ｔ）とすると、
ＡＲ＝（１－ｔ）ＡＢ＋ｔＡＣ
＝（１－ｔ）（ＯＢ－ＯＡ）＋ｔ（ＯＣ－ＯＡ）
＝－ａ＋（１－ｔ）ｂ＋ｔｃ
Ａ，Ｑ，Ｒは一直線上にあるから、ＡＱ＝ｋＡＲとおけるから、
ＡＱ＝ｋ｛－ａ＋（１－ｔ）ｂ＋ｔｃ｝
ＯＱ＝ＯＡ＋ｋ｛－ａ＋（１－ｔ）ｂ＋ｔｃ｝
＝（１－ｋ）ａ＋（ｋ－ｋｔ）ｂ＋ｋｔ・ｃ　……（1）
Ｏ，Ｐ，Ｑは一直線上にあるから、ＯＱ＝ｍＯＰとおけるから、
ＯＱ＝ｍ｛(5/18)ａ＋(2/9)ｂ＋(1/3)ｃ｝
＝(5/18)ｍ・ａ＋(2/9)ｍ・ｂ＋(1/3)ｍ・ｃ　……(2)
(1)(2)より、係数比較して
１－ｋ＝(5/18)ｍ，　ｋ－ｋｔ＝(2/9)ｍ，　ｋｔ＝(1/3)ｍ
連立で解くと、ｋ＝2/3，　ｍ＝6/5，　ｔ＝3/5
よって、ＯＱ＝(6/5)ＯＰだから、ＯＰ：ＯＱ＝５：６

＞（２）△ABQと△ABCの面積比△ABQ：△ABCを最も簡単な比で表せ。
（１）より
ｔ＝3/5だから、ＢＲ：ＲＣ＝3/5：2/5＝３：２　……(3)
ｋ＝2/3だから、ＡＱ＝(2/3)ＡＲより、ＡＱ：ＡＲ＝２：３　……(4)

△ＡＢＣと△ＡＢＲで、頂点をＡと見ると高さは同じだから、(3)より
△ＡＢＲ：△ＡＢＣ＝ＢＲ：ＢＣ＝３：５より、△ＡＢＲ＝(3/5)△ＡＢＣ
△ＡＢＲと△ＡＢＱで、頂点をＢと見ると高さは同じだから、(4)より
△ＡＢＱ：△ＡＢＲ＝ＡＱ：ＡＲ＝２：３より、
△ＡＢＱ＝(2/3)△ＡＢＲ＝(2/3)・(3/5)△ＡＢＣ＝(2/5)△ＡＢＣ
よって、△ＡＢＱ：△ＡＢＣ＝２：５

図を描いて確認してみてください。

お礼

ありがとうございました^^*

回答No.1

suko22

ベクトル記号省略します。

点Ｐは線分ＤＥの中点であることより、
ＯＰ＝1/2ＯＤ+1/2ＯＥ
　　＝1/2（5/9ＯＡ+4/9ＯＢ）+1/2*2/3ＯＣ
　　＝5/18ＯＡ+2/9ＯＢ+1/3ＯＣ

点Ｏ，Ｐ，Ｑｈ一直線上にあるから、実数ｋを用いて
ＯＱ＝ｋＯＰ
　　＝5ｋ/18ＯＡ+2ｋ/9ＯＢ+ｋ/3ＯＣ・・・※1

点Ｑは平面ＡＢＣ上にあるから、
5ｋ/18+2ｋ/9+ｋ/3＝1
5ｋ+4ｋ+6ｋ＝18
ｋ＝18/15＝6/5・・・※2

よって、｜ＯＰ｜：｜ＯＱ｜＝5：6

(2)△ＡＢＱ：△ＡＢＣ＝ＱＤ：ＣＤ（∵Ｃ，Ｑ，Ｄが一直線上にあること、点Ｃ、点Ｑから直線ＡＢにおろした垂線の足をそれぞれＨ、Ｈ’とすると、三角形の相似の関係からＱＨ：ＣＨ’＝ＱＤ：ＣＤがいえます）

ＱＤ：ＣＤの比を求めます。

点Ｑは平面ＯＣＤ上の点であるから、ＣＱ＝ｔＣＤ（ｔは実数）とすると、
ＯＱ＝ＯＣ+ＣＱ
　　＝ＯＣ+ｔＣＤ
　　＝ＯＣ+ｔ（ＯＤ－ＯＣ）＝ＯＣ+ｔ（5/9ＯＡ+4/9ＯＢ-ＯＣ）
　　＝5ｔ/9ＯＡ+4ｔ/9ＯＢ+（1-ｔ）ＯＣ

※1、※2より、
ＯＱ＝1/3ＯＡ+4/15ＯＢ+2/5ＯＣ

ＯＡ，ＯＢ，ＯＣは一次独立だから、
5ｔ/9＝1/3、4ｔ/9＝4/15、1-ｔ＝2/5　よりｔ＝3/5

よって、△ＡＢＱ：△ＡＢＣ＝ＱＤ：ＣＤ＝2：5

お礼

(2)の初めの2行にびっくりでした!
ありがとうございました^^*