フーリエ級数の問題です。よろしくお願いします。

質問

どちらも周期２πの階段関数で、奇関数と偶関数です。

写真の２つの例でグラフでフーリエ係数を計算し、等式が成り立つことを示しなさいという問題です。
よろしくお願いします

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

前半の関数をf(x)，後半の関数をg(x)とおきます．

f(x)奇関数⇒Fourier正弦級数f(x)=Σ_{k=1}^∞b_ksin(kx) b_k=(2/π)∫_0^πf(x)sin(kx)dx(k=1,2,・・)

g(x)偶関数⇒Fourier余弦級数g(x)=a_0/2+Σ_{k=1}^∞a_kcos(kx) a_k=(2/π)∫_0^πg(x)cos(kx)dx(k=0,1,2,・・)

となることは既知とします．（f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)を使うといいです）

さて，

b_k=(2/π)∫_0^πsin(kx)dx=(2/π)[-(1/k)cos(kx)]_0^π=(2/π)[-(1/k){cos(kπ)-1}

これはkが偶数では0になる．k=2n-1としてcos(kπ)=cos((2n-1)π)=-1

b_{2n-1}=4/{π(2n-1)}

(4/π)Σ_{n=1}^∞sin((2n-1)x)/(2n-1)=f(x)

これが前半の等式です．

次に

a_0=(2/π)∫_0^{π/2}dx

=(2/π)π/2=1

k=1,2,・・のとき

a_k=(2/π)∫_0^{π/2}cos(kx)dx=(2/π)[(1/k)sin(kx)]_0^{π/2}

=(2/π)(1/k)sin(πk/2)

これはkが偶数のとき0で奇数2n-1のときsin(πk/2)=sin(π(2n-1)/2)=(-1)^{n-1}

a_{2n-1}=2(-1)^{n-1}/{π(2n-1)}

∴g(x)=1/2+Σ_{n=1}^∞2(-1)^{n-1}cos{(2n-1)x}/{π(2n-1)}

1/2-(2/π)Σ_{n=1}^∞(-1)^ncos{(2n-1)x}/(2n-1)=g(x)

これが後半の等式です．