フーリエ級数の問題です。よろしくお願いします。

質問

フーリエ級数の問題です。よろしくお願いします。

どちらも周期２πの階段関数で、奇関数と偶関数です。

写真の２つの例でグラフでフーリエ係数を計算し、等式が成り立つことを示しなさいという問題です。
よろしくお願いします

回答No.5

misumiss · ベストアンサー

わかりました.

上の例で,
f(x) = 1 (0 ＜ x ＜ π), = -1 (-π ＜ x ＜ 0)
とします.
(-π, 0) ∪ (0, π) の範囲で, y = f(x) のグラフを描くだけでいいのですが, 難しく考えすぎていませんか.
グラフを描けば, f(x) が奇関数であることが, よりわかりやすいと思います.
実は,
g(x) = 0 (x = -π, 0, π), = 1 (0 ＜ x ＜ π), = -1 (-π ＜ x ＜ 0)
とすれば, 区間 [-π, π] において, 左辺 = g(x) が成り立ちます.
プリントの問題文を読んでも, 描くことを要求しているのが, y = 左辺 のグラフなのか, y = 右辺 のグラフなのか, やや曖昧です.
仮に, y = 左辺 のグラフだとすると, x の範囲についても, はっきりと指定していません.
だから, 既に述べたように, y = 右辺 のグラフでいいと思うのですが, 心配なら, 両方を描いておくといいでしょう.
y = 左辺 のグラフであれば, 周期 2π の周期関数であることを利用すれば, - ∞ ＜ x ＜ + ∞ でのグラフが描けます.

下の例に関しても, まったく同様です.

回答No.4

misumiss

＞グラフをどう書くのかがわからないです
これが冗談なのか, それとも本気なのか, 判断が難しいです。
グラフをどうか描くか本当にわからないのなら, 補足欄に, "本当にわかりません," とかいてください。
補足欄にかかれる内容によって, こちらの返事も変わってきます。
あなたが大学で学問を続けていけるかどうか, いまが分かれ目のような気がします。
ですから, 正直にコメントしてください。

補足

すみません　本当にわかりません

回答No.3

info22_

奇関数のフーリエ級数展開の公式を用いて展開すると
f(x)=Σ[k=1,∞] bk sin(kx) ...(1)
bk=4/(2π)∫[0,π] 1*sin(kx)dx
=(2/π)[-cos(kt)/k][0,π]
=(2/π){-cos(kπ)+1}/k
=(4/(π(2n-1))(k=2n-1のとき), =0(k=2nのとき)
(1)に代入し、kをnに置き換えると
f(x)=Σ[n=1,∞](4/π)sin((2n-1)x)/(2n-1)
=(4/π)Σ[n=1,∞](4/π)sin((2n-1)x)/(2n-1)

偶関数のフーリエ級数展開の公式を用いて展開すると
f(x)=ao/2+Σ[k=1,∞] ak cos(kx) ...(2)
ao=4/(2π)∫[0,π/2] 1dx
=(2/π)(π/2)=1
ak=4/(2π)∫[0,π/2] 1*cos(kx)dx
=(2/π){sin(kx)/k] [0,π/2]
=(2/π)sin(kπ/2)/k
=-2(-1)^n/(π(2n-1))(k=2n-1のとき), =0(k=2nのとき)
(2)に代入し,kをnに置き換えると
f(x)=1/2-(2/π)Σ[n=1,∞] (-1)^n*cos((2n-1)x)/(2n-1)
=(1/2)-(2/π)Σ[n=1,∞](-1)^n*cos((2n-1)x)/(2n-1)

回答No.2

misumiss

わからない場所はどこですか.
定義さえ教えれば, 高校生でも解けそうな問題で, 地道にフーリエ係数を計算して, フーリエ級数が左辺と一致するのを確認するだけです.

補足

グラフをどう書くのかがわからないです

回答No.1

hashioogi

Excelでグラフを描いたらどうでしょうか？