フーリエ級数展開の問題

質問

フーリエ級数展開の問題
cを実数の定数とし、fは周期関数2πの関数で区間[-π,π)において
f(x)=
(c-2)(x+π/2) :-π<=x<0
(2c-3)(x-π/2):0<=x<π
であるとする。この時のフーリエ級数展開
a_(0)/2+Σ[n=1,∞]{a_(n)cos(nx) + b_(n)sin(nx)}
について各問に答えよ

(1)関数fが偶関数になるような定数cの値を求め、その時のフーリエ係数a_(1)の値を求めよ。

切片が同じで、傾きが逆になればいいので、
(c-2)=-(2c-3)と式を立てて
c=5/3

a_(n)=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx) dx
-π<=x<0の時と、0<=x<πの時とを分けて積分
a_(n)=1/π{∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(nx) dx + ∫[0,π](x/3-π/6)cos(nx) dx}
n=1の時を求めればいいだけなのでn=1を代入して
a_(1)=1/π{∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx + ∫[0,π](x/3x-π/6)cos(x) dx}

式の∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx の部分を計算
部分積分で計算し、
∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx=[(-x/3-π/6)sin(x)-cos(x)/3][-π,0]
=-1/3-1/3==-2/3
∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx の部分を同じく計算
∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=2/3
よって
a_(1)=1/π{-2/3+2/3}=0

となってしまいました。0となり不安です間違っている気がすごくします。これで合っているんでしょうか？

あと、この次の小問(2)で
(2)関数fが奇関数になるような定数cの値を求め、その時のフーリエ係数b_(1)の値を求めよ。
という問題があるのですが、これはcの求め方からして分かりません。
存在しない気すらします。どのように求めればいいんでしょうか？

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(1) f(x), cos(x) ともに偶関数だからf(x)cos(x)も偶関数。
[-π,0]と[0,π]とで、積分値が異なるのはおかしい。
おそらく、後者の2/3が計算間違え。
というか、後者は計算する必要なし。
前者を2倍すればよい。

(2)奇関数の定義「f(x) = -f(-x)」に当てはめればよい。
c = 1
b(1)は、奇関数fと奇関数sinの積は偶関数だから、これも[0,π]での積分を2倍すればよい。

お礼

ありがとうございます。まさしく後ろの∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=2/3の部分が間違っていました。
-1/3-1/3としないといけないところを、何故か1/3+1/3で計算してしまっていました。
奇関数偶関数の場合1/2周期分計算すれば後はそれを倍にすればいいんですね。
確かに図で描いてみるとその通りでした。
(2)の奇関数って切片(f(0))が0でないと奇関数にはならないと思ってたんですが、そうでは無いんですね。
ありがとうございました。やっと解けました

回答No.2

info22_

(1)
c=5/3
偶関数なので
a_(1)=(2/π)∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=-4/(3π)

>0となり不安です間違っている気がすごくします。これで合っているんでしょうか？
以下が間違いです。
誤：∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=2/3
正：∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=-2/3

(2)
>cの求め方からして分かりません。
>存在しない気すらします。どのように求めればいいんでしょうか？
奇関数の性質f(-x)=-f(x)でx→0+,-x→0-としてみて下さい。

c=1
b_(1)=(2/π)∫[0,π] (-x+π/2)sin(x)dx=0

お礼

ありがとうございます。
計算し直したところ、まさしく後ろの∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=2/3の部分が間違っていました。
-1/3-1/3としないといけないところを、何故か1/3+1/3で計算してしまっていました。

(2)の奇関数って切片(f(0))が0でないと奇関数にはならないと思ってたんですが、そうでは無いんですね。
ありがとうございました。やっと解けました