フーリエ級数

質問

ｆ(ｘ)＝{１＋ｘ（－１≦ｘ≦０）
　　　　{１－ｘ（０≦ｘ≦１）
ｆ(ｘ)のフーリエ級数は？

　偶関数・奇関数の見分け方とか
　計算過程も明記して貰えると
　ありがたいと思います。
　類似問題も解けるようになりたいので。

回答No.2

nanjamonja

周期２Ｌの偶関数のフーリエ級数は
ｆ(ｘ)～a[0]/2+Σa[n]cos(nπx/L)
a[n]＝1/L∫(-LからL)f(x)cos(nπx/L)ｄｘ
　　＝∫(-1から1)f(x)cos(nπx)ｄｘ
　　＝∫(-1から０)(１＋x)cos(nπx)ｄｘ
　　　＋∫(０から1)(１－x)cos(nπx)ｄｘ
部分積分を使って解くと(途中省略です)
a[n]＝２/(ｎ＾2*π＾2)｛１－(-1)＾ｎ｝　　
　　＝ｎが偶数のとき　０
　　　ｎが奇数のとき　４/(ｎ＾2*π＾2)
a[0]/2＝1/2∫(-1から1)f(x)ｄｘ
　　　＝1/2
ｆ(ｘ)～1/2＋４/π＾2｛cos(πx)/1＾2＋cos(3πx)/3＾2
＋cos(5πx)/5＾2＋・・・・・｝
と展開できます。

回答No.1

ugoo

展開する範囲はどこまでですか？
わからないのでとりあえず -1≦x≦1 で展開すると仮定します。
周期が2πでないので、周期を2に変える必要があります。
フーリエ係数はそれぞれ
a[n] = 2/τ∫f(x)cos(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
b[n] = 2/τ∫f(x)sin(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
ここで、τは周期(この問題の場合τ=2)
f(x)を周期関数とみなせば積分範囲は-τ/2≦x≦τ/2としてもいいです。
フーリエ級数は
F(x)=a[0]/2+Σ{a[n]cos(2πnx/τ)+b[n]sin(2πnx/τ)}
後は計算だけなので自分でやってください。

ちなみに、
偶関数の定義は
f(-x)=f(x)
が成り立つこと。

奇関数の定義は
f(-x)=-f(x)
が成り立つこと。