大学数学

質問

可測関数の極限は可測であることを示せ。これがわかりません。大学数学に詳しい方教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

N=(全自然数)
R=(全実数)
集合Ωに対して
M={E|E⊂Ω,Eは可測集合}とする
n∈Nに対して
f_n:Ω→R
を可測関数
∀a∈Rに対して
{x|f_n(x)>a}∈M
とする
f:Ω→R
を{f_n}_{n∈N}の極限とすると極限=上極限=下極限だから
x∈Ωに対して
f(x)=lim_{n→∞}f_n(x)=inf_{n∈N}(sup_{k≧n}f_k(x))
となる

(1)可測関数の上限は可測
n∈Nに対して
g_n(x)=sup_{k≧n}f_k(x)
とすると
∀a∈Rに対して
{x|f_k(x)>a}∈M
だから
{x|g_n(x)>a}=∪_{k≧n}{x|f_k(x)>a}∈M
だから
g_nは可測となる

(2)可測関数の下限は可測
∀a∈R,∀m∈N,∀k∈Nに対して
{x|g_n(x)>a+(1/m)-(1/k)}∈Mだから
{x|g_n(x)≦a+(1/m)-(1/k)}∈Mだから
{x|g_n(x)<a+(1/m)}=∪_{k∈N}{x|g_n(x)≦a+(1/m)-(1/k)}∈M
f(x)=inf_{n∈N}g_n(x)
だから
{x|f(x)<a+(1/m)}=∪_{n∈N}{x|g_n(x)<a+(1/m)}∈M
だから
{x|f(x)≧a+(1/m)}∈M
だから
{x|f(x)>a}=∪_{m∈N}{x|f(x)≧a+(1/m)}∈M
∴
fは可測