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大学で学ぶ数学
宜しくお願いします。 私は来年受験を控えているのですが、東京理科大学の数学科を受験しようかと思っています。 しかし、「大学の数学と高校の数学は別物」とか「高校の数学は算数」などといったことをよく耳にします。 高校の頃数学が好きで入ったのに大学で躓くこともザラだとか・・・。 自分でも書店に足を運んでみたのですが、当然未修の内容ですので書いてあることは大体理解できても、どの程度「難しい」のかわかりません。 私はどちらかというと計算をするよりも、証明とか概念そのものの定義とかといった哲学的な内容に興味があります。 そこで、大学で数学の勉強をしてらっしゃる方がいらっしゃったら、具体的にどういうことを学ぶのか教えていただけませんでしょうか。
- hyottokotunes
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こんにちは。 大昔の数学科卒業生ですが、いまもそう変わらないと思います。 数学が好きであれば、問題ないと思います。 >しかし、「大学の数学と高校の数学は別物」とか「高校の数学は算数」など ＞といったことをよく耳にします。 これはそのとおりです。高等学校までは、本来数学的に困難なところをさけて通っている ので、そこをどうするのかを学ぶことも多いです。 それと、間違いなく分野が広がります。 例えて言ってみれば、高校までの分野が地球の大きさとすれば、 大学の数学は、太陽系くらいの大きさであるというのが、私が数学科で 少し慣れたときに感じたことでした。 >高校の頃数学が好きで入ったのに大学で躓くこともザラだとか・・・。 これもそのとおりです。大学の教官から言われました。 みんな躓くのだ・・そこから始まるのだと・・・ まず躓くのが、論理の展開の仕方の違いです。 これを克服するのに、半年くらいはかかりましたね。 >自分でも書店に足を運んでみたのですが、当然未修の内容ですので書いてあることは大体理解できても、どの程度「難しい」のかわかりません。 それはごく普通のことです。わかれば苦労はしませんし、 それが学ぶことの内容でもあります。 大学では、教えられるというより、自分の疑問点を 先生に質問しながら自分で学ばないと理解できるようになりません。 自分がなにをわかっていないかをつかむことがまず第一歩です。 >私はどちらかというと計算をするよりも、証明とか概念そのものの定義とかと >いった哲学的な内容に興味があります。 それこそが、数学です。 代数学と言っても幅広いですし、幾何学と言っても広いです。 整数論、関数解析、微分積分と照るもなく広い学問です。 分野は広いですから何を自分の専門にするかは、 １年、２年の間に広く学ぶ基礎的なそれぞれの分野の中からら、 自分が興味関心の会う分野を選び専門としていくのです。 数学科で落ちこぼれるのは、１年と２年前半までに、 高校までの数学との違いを克服できなかった人たちです。 本当に数学が好きか？ 良く考えて進路を決めてください。 がんばって。
お礼
回答ありがとうございます。 大学のパンフレットを見ていただけでも思ったのですが、本当に広大な領域を持つ学問ですよね。 もちろん学問全般にいえることだと思いますが、数学は特に、という印象です。 自ら学ぶという姿勢こそが大学での勉強だということは先輩方から聞いていますので、そのあたりはしっかりしていこうと思います。 ありがとうございました。
図書館に、「数学セミナー」の４月号によく大学で学ぶ数学についての特集がありますので参照してください。図書館によっては、過去４，５年分しか置いてないところもあります。 老婆心ながら、今この時期に、そうした余裕ないでしょう。イギリスのことわざに「プディングは食べてみないと分からない」（The proof of the pudding is in the eating.）とありますよ。
お礼
回答ありがとうございます。 近所に図書館がありますので、ぜひ見てみることにします。 ありがとうございました。
- stomachman
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ご質問の「具体的にどういうことを学ぶか」というのは、何を学びたいかに依って決めるべきことです。「すべての数学を学ぶ」なんて時間的に不可能なのですから。なのに、進学先を選ぶにあたって、そこにどんな人がいてどんなことをやってるか知らないというんじゃ、何を学ばされるかは運任せということ。運任せなら心配したってしょうがないっすね。 で、何を学びたいかをある程度にでも絞るためには、当然、いろんな分野を（かじるまでは行かなくても）味見してみる必要があります。 昔は、という話ですが、数学科に進むなんて言い出す変人は、高校生のうちに自分なりに勉強を進めているもんでした。 極限の概念を順序立てて学ぶとか、（中学高校ではナニモカモ曖昧なままの）代数学の体系をひもとくとか、ボードゲームの必勝法を研究するとか、一般相対性理論を理解したくてテンソル解析をやるとか、パソコンにかじりついてフラクタル図形を描きまくるとか、フェルマーの大定理に嵌るとか、バナッハ・タルスキーの定理にどっぷり浸かるとか、結び目の理論に絡まるとか、不完全性定理で瞑想するとか、不確定性原理の新展開に目を輝かすとか、論理式で日常会話を試みるとか、興味の方向はひとそれぞれですけれども、誰に教えてもらう訳でもなく勝手にやるんです。 右も左も弁えない高校生なんで、分かったような分かんないような、になっちゃうこともままある。「超」とか「特殊」の字が付く話だとなんでもカッコよく見えたりする。重要なポイントを見落として細部に拘ってしまったりもする。それでもいいんです。 なぜなら、何も「人に先んじて勉強しておこう」というようなセコい動機でやるのではない。単に面白いからやる。高校数学なんかじゃまるっきり物足りないからやるんです。だから受験勉強をついついサボって数学で遊ぶ。 そういうことを今やってないのでしたら、それは何故？ もしかして、手取り足取り教えてもらうのを待ってる？ あるいは、実は数学にさほどの興味はない？ 公理論的集合論を読んでみて面白いかどうか、ってのは、向き不向きを見るひとつの試金石かな、と思います。ご質問で仰る意味での「哲学的な内容」に近いだろうと思いますし（あんまり哲学的とは思わないけどね）、あらゆる数学における言葉遣いに関わる部分ですんで、無駄になることはない。（そういや、ブルバキの数学原論にチャレンジなさってる方の質問が最近ありましたけど、いや、あれはあんまりお勧めできません。） また、形式主義数学の創始者とも言えるヒルベルトの「数学の問題」は20世紀が始まるにあたって23個の様々な問題を提起したもので、その後の数学の研究に大きな影響を与えました。それぞれの問題がどうなったか、について簡単に紹介した本もあります。 高校までとの違いについては： http://okwave.jp/qa/q3565233.html http://okwave.jp/qa/q7423274.html http://okwave.jp/qa/q43691.html などがご参考になるかも。
お礼
回答ありがとうございます。 数学に関する本はいろいろと読んできましたが、確かに理解できたかといわれるとはいとは答えられません…。 ヒルベルトの23の問題に関する本は読んだことがあります。 未だに未解決なものもあって、神秘的だなぁと子供レベルですが思った記憶があります。 参考質問にもしっかり目を通しておきます。 ありがとうございました。
私は、現４年数学科にいますが 人それぞれだと 思いますが 心から数学科に入ったことを後悔しています！ 資格も取れない 就職関係が弱い などもありますし 数学がもう桁違いにレベルが違います 私は、高校時代数学が大好きで常に一位を取ってました なので 数学が好きだからと軽い気持ちで行かない方がいいです 将来の事も考えながら大学選びした方がいいです もっと色んな学部を徹底的に調べてそれでも行きたいなら行って下さい
お礼
回答ありがとうございます。 >>心から数学科に入ったことを後悔しています！ よっぽどなんですね…。 確かに数学科のみならず理学部は就職関係があまりよくないと聞きます。 そのあたりの考えがまだ甘いのですが、やはりよくないのでしょうか…。 ありがとうございました。
- B-juggler
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お邪魔しようかな。元代数学の非常勤講師です。 そうねぇ、確かに「高校まで算数」でいいと思う。 だけど、算数ができないことには数学はできないし、 おろそかにもできませよ。 大学の数学と高校の数学の違いって、一言ではかなり難しいけれど、 「えっ、こんなのも数学なの？」 みたいなことがたくさん出てきます。 例）数的論理学など。「豚が空を飛んだら、明日ハワイで雪が降る」この文章は真か偽か？ ）３次元ベクトルは多分知っていると思うけれど、微分や積分をやってしまう！ 「隣りどうしが同じ色になってはならない」（４色問題）だったり、 自然数の定義方法だったり。 こんなのもあるか、０．９９９９９９・・・・・・・と Ｌｉｍ（ｎ→∞）Σ（ｋ＝１ ｔｏ ｎ） ｛９×（１／１０）＾ｋ｝ の違い。（上のは１にはならないけれど、下のは１になる） 「ありとあらゆる公理的体系において、その無矛盾性は自分自身で証明することは出来ない」 不完全性定理だけど、ほとんど哲学的。 だけど、哲学の考え方と数学の考え方は違うから気をつけてね～。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
回答ありがとうございます。 実際に教授されていた方ということで、非常に参考になりました。 論理学は個人的に触ったことはあるのですが、不完全性定理とかは名前しか知らない程度です。 大学での数学も興味深そうです。 ありがとうございました。
お礼
回答ありがとうございます。 大学で学ぶのは「学問」ですもんね、答えがない未知の領域を探索するというのはとても興味深いです。 恥ずかしながら、ビショップという人名を初めて聞きました。 一度図書館で調べてみることにします。 ありがとうございました。