～大学数学～

質問

～大学数学～

lim[x→0](1+sinx)^1/xの極限値の求め方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>lim[x→0](1+sin(x))^(1/x)
でいいですか？

y=(1+sin(x))^(1/x) (≧0)
log(y)=(1/x)log(1+sin(x))

lim[x→0] log(y)
=lim[x→0] log{(1+sin(x))^(1/x)}
=lim[x→0] {log(1+sin(x))}/x
=lim[x→0] {cos(x)/(1+sin(x))}/1
=lim[x→0] cos(x)/(1+sin(x))
=1/(1+0)=1=log(e)

∴lim[x→0] y=lim[x→0] {(1+sin(x))^(1/x)}=e

でいいですね。

グラフを描いて確認しても　「e」に収束します。

回答No.5

country_bear

スミマセン、対数の微分を間違えてました・・・

回答No.4

Tacosan

さらに別法:
sin x → 0 (as x → 0) から指数関数の連続性を使うと
lim (1 + sin x)^(1/x) = lim e^(sin x / x) = e^1 = e.

回答No.2

country_bear

すみません訂正です

logyが0に近づくときyはe^oに近づくので

答えは1です。

しょうもない計算ミスですね。

回答No.1

country_bear

y=(1+sinx)^1/x 　とする。

対数をとると

logy=(1/x)log(1+sinx)

lim[x→0]logy をもとめると　ロルの定理より　log1つまり0となる。

logyが0に近づくときyはe^1に近づくので

与式＝e

計算はあっているかどうかわかりませんが、大体こんなかんじです。
e以外の数字の乗数にxが含まれている時はたいてい対数をとればいい問題です。