m・du/dt = -ku

質問

m・du/dt = -ku

より

du/dt = -k/m・u

という式から

u = C_1e^-k/m・t

となります

と書いてありました

なんで自然対数eというのが勝手に出てくるのでしょうか。この式になることの根本を理解したいので急ぎではなく丁寧に解説をしていただければ幸いです。

お願い申し上げます。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

（☆）du/dt=(-k/m)u

という方程式があります。これを少し書き変えましょう。すなわち、

a=-k/m

とおき、ｔに依らない定数a≠0をとります。さらに時間の変数tを次の変数に変換します。

τ=at

すると、

du/dt=(du/dτ)(dτ/dt)=adu/dτ

☆はadu/dτ=auすなわち

（★）du/dτ=u

となります。これは変化率が自分自身に等しいことを表しています。

そこで、自然対数が底の指数関数e^{τ}の性質に

※de^{τ}/dτ=e^{τ}

というのがあったことを思い出します。これと★を見比べると、uはe^τに比例することがわかります。つまりCを定数として、

u=Ce^{τ}

となるわけです。τを元のtに戻すと

u=Ce^{-kt/m}

となります。

自然対数eが出てくる理由は微分方程式が☆のようにかけて、指数関数e^τが※のような性質を持っているからです。

お礼

数学を全部履修していなかったことと時間のラグがあり大学物理の質点の力学の授業が当然のこととして覚えていなければならないことがこのようにわからないという状況が度々あるのでそんなのもわからないの？ではなくereserve67
さんのように初学者にでもわかる解説をしていただけることが大変うれしく存じます。

本当にありがとうございました。
また今後ともご教授の程よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

asuncion

m・du/dt = -ku
より、
du/u = -k・dt/m
両辺を積分すると
log(u) = -kt/m
u = C・e^(-kt/m)
ということかな？

お礼

変数分離？というものを使うと導出できるのですね。
お礼を申し上げるのが大変遅くなり失礼いたしました。
今後ともよろしくお願い申し上げます。