再帰的微積分

質問

次の問題について
f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](tf'(x-t))dt を満たすf(x)を求めよ

解答を見ると、f(x) = (e)^2x となっているのですが、解答解説そのものが信用できません。

解説の一行目で、x - t = u とおくと、dt = -du としているのですが、x,t,uは相互に関数の関係にあるため、このように変形できないように思われます。

どなたか、解法解説をお願いいたします。

以下、自力で解いてみましたが、欠片も似つかない回答になったものを提示します。
与式両辺を微分すると、
f'(x) = 2 + 2xf(x-x) = 2 + 2xf(0)。
与式に代入して、
f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](t(2+ 2(x-t)f(0))dt
x = 0を代入して、
f(0) = 1 + 2∫[0-0](t(2+ 2(-t)f(0))dt = 1
従って、f(0) = 1より、
f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](t(2+ 2(x-t))dt
f(x) = 1 + 2x + 2t^2 + 2∫[x-0](t(2(x-t))dt
f(x) = 2/3x^3 + 2x^2 + 2x + 1

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

>x,t,uは相互に関数の関係にあるため

ここの理解が間違っています。
∫[x-0](tf'(x-t))dt の積分計算においてxは定数にすぎません。tとxは完全に独立した変数であるため積分計算では普通の数と同等に扱います。

質問者の解法で
>与式両辺を微分すると、
>f'(x) = 2 + 2xf(x-x) = 2 + 2xf(0)

実はすでにここで間違っているのです。
多分、
d/dx{∫[x-0]g(t)dt}=g(x)
という式から上の式を考えたのでしょうがこれはg(t)がxを含まない関数である場合にしか使えません。
実際にg(t)=tx という式で考えてみればわかります。
∫[x-0]g(t)dt=∫[x-0]txdt=x∫[x-0]tdt (←tでの積分においてxは定数にすぎないため外に出せる!!)
=x^3/2
となります。これをxで微分しても3x^2/2でありg(x)=x^2とは一致しません。

お礼

ありがとうございます。
理解できました。

回答No.1

Tacosan

「x - t = u とおく」のは右辺最後の積分を処理するところだから, x は t に無関係な「定数」になる. だから, ここから dt = -du は (もうちょっと途中を丁寧に書くべきかもしれんが) 当然です.

あとあなたのやり方ですが, 与式
f(x) = 1 + 2x + 2∫[x-0](tf'(x-t))dt
の両辺を x で微分してるんですよね? なぜ
f'(x) = 2 + 2xf(x-x)
となるんでしょうか? 被積分関数に x が含まれるから, 微分すると「被積分関数を x で微分したもの」に由来する項が出てこないとおかしいですよ.

もちろん微分積分学の基本定理の適用も間違ってるけど.

お礼

ありがとうございます。
2∫[x-0](tf'(x-t))dt だけ切り出して考えれば簡単でしたね。