変数分離

質問

分かりにくいかもしれませんが、
u'=a*u+v
を、変数分離してuを求めると
u(t)=e^(a*t)*(u0+t*v0)
になるのが分かりません。

u'=a*u
を変数分離して、uを求めたら
du/dt=a*u
du/a*u=dt（両辺を積分して↓）
log(u)/a=t+c（cは定数）
log(u)=a*t+c'（c'=a*c）
u=e^(a*t+c')
u=e^(a*t)*e^(c')（e^(c')=u0として↓省略。。）
u=e^(a*t)*u0

となるのは分かるのですが、
＋vがつくだけで計算が分からなくなりました。。
分かる方計算方法を教えてください。
お願いいたします。

回答No.6

noname#21219 · ベストアンサー

v'=avという関係が与えられてるなら、
dv/v=adtよりlogv=at＋c∴v(t)=v0e^at (v0≡e^c)
です。これでv(t)の関数系が分かったことになります。
あとは、元の微分方程式の同次方程式（v(t)=0とした式）の解を求め、それがu(t)=u0e^atと既に求まって
いるから、それを元に定数変化法を使うだけです：
係数u0(≡C)をtの関数とみなしC(t)として、元の
微分方程式にu(t)を代入します

u'=au＋v(t)より
{C(t)e^at}'=aC(t)e^at＋v0e^atです。
C(t)'e^at＋aC(t)e^at=aC(t)e^at＋v0e^at
より
C'e^at=v0e^at∴C'=v0∴C(t)=v0t＋G(積分定数)
これをu(t)に代入すると
u(t)=(v0t＋G)e^atとなりますが,t=0を代入し
u(0)=Gとなって、G≡u0として
u(t)=(u0＋v0t)e^atです

お礼

ありがとうございます！！完全に理解しました！！
sky_fireさんにつきっきりで指導していただいてとても嬉しかったです！
sky_fireさんの優しさに触れて、申し訳ない思いと、すがすがしい思いでいっぱいです。
本当にありがとうございました！勉強がんばります。

回答No.5

noname#21219

申し訳ありませんが、「あるいは、同次解と特解の和が一般解という見方も
できますから」以降はこちらの勘違いでした、忘れてください。

この場合、v(t)の関数系は具体的に与えられていない
ので、一般解の形は積分を含む形にならざるを得ません。ですから、u(t)=e^(a*t)*(u0+t*v0)という解
は、v(t)の関数系が与えられてないかぎり、そこまで
具体的には分からないはずです。(v0,u0は定数ですよね？）
すなわちu(t)=e^at∫e^-at・v(t)dtで積分定数を
一つ含んだ一般解になっています。

実際にu'=a*u+vという、そもそもの微分方程式
にu(t)=e^(a*t)*(u0+t*v0)を代入してみれば分かると思いますが、左辺=ae^at(u0＋v0t)＋e^at・v0
右辺=au＋v(t)=ae^at(u0＋v0t)＋v(t)となります。
これは、t=0では確かに成立っているようですが、
t≠0ではv(t)=v0e^atとなり、v(t)の関数系が
指定されていることになります。これは、v(t)の関数系が具体的に与えられていないということと矛盾します。v(t)は既知関数ということなので、これ以上
何か与えられるということはないはずです。

補足

sky_fireさん！！ごめんなさい！！
元々、v'=avというふうに与えられていました！！
と言う事はv(t)=v0*e^(at)となって、
u(t)=v0t*e^(at)　になります。。
参考書では
u(t)=(u0+v0t)*e^(at)
が答えみたいなのですが、どうなのでしょう？
u0,v0は定数です。説明不足で申し訳ありません。
sky_fireさんの解説はとてもわかりやすいです！

回答No.4

noname#21219

vがv(t)ということなら、定数変化法で解は求まります。まず、右辺のv(t)=0とおいて『同次方程式』の解
を求めます。それは変数分離で求まるはずです：
u=e^(a*t)*u0

定数変化法とは、ここで上式のu0(≡C)という定数を
C(t)という風に、変数とみなし正しい式に代入します：u'=a*u+v⇒d/dt・{C(t)e^at}=aC(t)e^at＋v(t)
∴C'(t)e^at＋aC(t)e^at=aC(t)e^at＋v(t)
∴C'(t)=e^-at・v(t)　

v(t)の具体的な形が与えらてないなら、解は積分を含む形になります.
C(t)=∫e^-at'・v(t')dt'

よってu(t)=C(t)e^at
=e^at∫e^-at'・v(t')dt'(t'=0～t)

あるいは、同次解と特解の和が一般解という見方も
できますから、同次解u1=e^(a*t)*u0に
t=0における解（特解)：u2=v0te^atを足して
u1＋u2=u(t)=e^(a*t)*(u0+t*v0)とする解も正解といえます。特解の求め方については、定石というものは
基本的にありません。

補足

途中まではとてもよく分かりました！！
ただ、「同次解と特解の和が一般解という見方も
できます」からよく分かりません。。
なぜ、和が一般解になるのでしょうか？
また、特解である、u2=v0te^atはどの式のt=0における解でしょうか？
たびたび質問をしてしまって申し訳ございません。

回答No.3

pascal3141

a*u+v=a*f と置いて考えると、a*f'=a*u'つまりf'=u'=a*u+v=a*fよって、f'=a*fとなり、わかりやすい式になります。この後は質問の６行目からと同じ手順でuをfと書き換えてやればいいです。最後に元に戻すようにしてください。定数だけの違いの時には、上記のように置き換えて簡単にする方法が良く使われます。

回答No.2

noname#21219

vは定数ですよね？
それなら、まとめて移項してやるだけです。
つまり、
u'=a*u+v⇔du/dt=au＋v
⇔du/(au＋v)=dt
⇔1/a・log(au＋v)=t＋c
⇔log(au＋v)=a(t＋c)
⇔au＋v=e^ac・e^at≡Ce^at
∴u(t)≡De^ac-v/a (C/a≡D)
u(0)=D-v/a

補足

ごめんなさい・・・。
vは定数ではなく既知の関数でした。。
答えは
u(t)=e^(a*t)*(u0+t*v0)
になるみたいなんです。。。
変数分離では解けないのでしょうか？

回答No.1

eatern27

vは定数ですか？既知の関数ですか？未知の関数ですか？

定数なら、x=au+vみたいにおけば、変数分離形である事がわかりやすくなると思います。

既知の関数(定数でもよいが)なら、定数変化法とか使うのが楽なのではないかと思います。

未知の関数(uのように求めるべき関数)ならこの微分方程式だけではどうしようもないと思います。

補足

ごめんなさい。。
vは既知の関数でした。。v(t)です。
定数変化法とはどのような計算法でしょうか？
お手数かけて申し訳ありません。。