重み関数の簡略化

質問

皆さん宜しくお願いいたします。
制御工学などで使用される重み関数と言われるものが有ります。
常用対数をLog、自然対数をLnとすると
W(u) = Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )
で表わされます。これの∫{u=-∞→∞}W(u)du を求めようとしています。
求める際、
W(u) = Ln( coth((|u|/2 )に簡略化できるらしいのですが、
対数の底の変換を行うと
∫{u=-∞→∞} log( coth(|u|×Ln(10)/2) ) du
　=∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|u|×Ln(10)/2) ) / Ln(10) du
となります。ここで|u|×Ln(10) = |t| とおくと
u:-∞→∞でt:-∞→∞
dt = |u|×Ln(10) du よりdu = dt / Ln(10) となり
∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|t|/2) ) / ( Ln(10) )^2 du
となり、底の変換だけでは、うまくいきません。
coth=( e^x+e^(-x) )/( e^x-e^(-x) )を用いて
x=|u|×Ln(10)/2をばらして変換しようとしてもうまくいきません。
どなたか、ご存知の方、いらっしゃいましたらご教示頂きたくお願いいたします。

回答No.2

syacho- · ベストアンサー

先ずはお詫びしますね。直交関数系の”重み”が知りたかったわけですね。内積の拡張の方法を知りたいものと勘違いしてしまいました＾＾；
質問者さんのおっしゃる定数倍が無視できないとは全く意味が違いますので注意して下さい。

質問内容を整理します。
　１．W1をω/ω0=0.01～100まで描いて、総和を計算すると約π^2/2にな|る。
　２．W2をω/ω0=0.01～100まで描いて、総和を計算すると約π^2/2*Ln(10)になる。
　１．２．の矛盾を説明せよ。
ということですね？？私の方でも確認しましたが、確かに数学的には整合性がとれますね。もしかしてですが、、、
W1の積分をω/ω0=0.01～100で行ったときの、uの積分範囲を[a,b]とします。
W1 = Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )，u=Log(ω/ω0)
W2 = Ln( coth(|t|/2) )，u=Ln(ω/ω0)
より、W2におけるuの積分範囲は[a*ln(10),b*ln(10)]
|u|×Ln(10) = |t|
より、tの積分範囲は[a*ln(10)^2,b*ln(10)^2]
等、失念されていないでしょうか？Excelでの具体的な計算法が記載されていないので、見当違いであれば申し訳ないです。解決できることを祈っています＾＾

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳有りません。
やっとナゾが解けました。
総和を計算する際、ΣW(u)Δuとせず、ΣW(u)Δ(ω/ω0)としてしまっていました。
ΣW(u)Δuと直したところ、ΣW(u)Δu≒π^2/2となりました。
また、W2(u)Δu/W1(u)Δu=Ln(10)^2となり、ΣW2(u)Δu/ΣW1(u)Δu≒Ln(10)^2ろなることがエクセルの計算により分かりました。
結局質問の変換は、
W1(u) = Log( coth(|u|×Ln(10)/2 ) = Ln( coth(|u|×Ln(10)/2 )/Ln(10)
ここで、u = Log(ω/ω0) = Ln(ω/ω0)/Ln(10) = u'/Ln(10)　となり（Ln(ω/ω0)のuをu'とおいた）
W1(u) = Ln( coth(|u'|/2 )/Ln(10) ⇔ W1(u)×Ln(10) = Ln( coth(|u'|/2 )
W2(u') = W1(u)×Ln(10) = Ln( coth(|u'|/2 ) と重み関数を変換することができる。が質問の答えでした。

さらに、積分値は∫W2(u')du' = π^2/2 となることがエクセルの計算と下記他の質問により分かりました。
(参照URL　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4267178.html　）
よって
∫W2(u')du' = ∫W1(u)×Ln(10)du'　ここでu' = Ln(10)×u に注意すると、du' = Ln(10) du
よって∫W2(u')du' = Ln(10)^2∫W1(u)du = π^2/2 ゆえに
∫W1(u)du = π^2/(2Ln(10)^2) であることが分かりました。
上記の式の変換及びW1,W2による積分値の違いについて導きましたが、少々自信がありません。
ご意見をうかがいたくよろしくお願いいい足します。

回答No.1

syacho-

先ず質問内容の確認ですが、
　W(u)を置換積分すると、
　Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )　⇒　Ln( coth(|t|/2) ) / ( Ln(10) )^2
　となった。しかし、実際は
　Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )　⇒　Ln( coth(|t|/2) )
　に簡約化できるらしい。
　"/( Ln(10) )^2"が余計だが、どういうことか？
と解釈してよろしいでしょうか？

重み関数というのは、関数の内積を拡張し直交関数系を生成するためのものです（拡張定義の直交関数系）。
結論を言うと定数部分は無視できるため、"/( Ln(10) )^2"は気にしなくて良いです。定数を掛けようが掛けまいが、関数の直交性は変わりませんからね。直交性が確保できれば、制御工学に登場する方程式も解けるということだと思いますよ。ただ、定数を無視することが制御工学に具体的にどう影響するのかは、想像しかねます。

お礼

ご回答頂き、ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳有りません。
質問内容確認の件ですが、
>W(u)を置換積分すると、　Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )　⇒　Ln( coth(|t|/2) ) / ( Ln(10) )^2　となった。
>しかし、実際は　Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )　⇒　Ln( coth(|t|/2) )　に簡約化できるらしい。
>　"/( Ln(10) )^2"が余計だが、どういうことか？と解釈してよろしいでしょうか？
については、たまたま置換積分という方法を使用したところ"/( Ln(10) )^2"が余計になってしまったということです。
他の方法で、Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )　⇒　Ln( coth(|t|/2) )に簡略化できないでしょうかというのが質問でした。

>"/( Ln(10) )^2"は気にしなくて良いです。
いえ、気にしなければならないと思います。（以下理由）

簡略化する前をW1、簡略化した方をW2とすると、質問には示しませんでしたが、uの定義は以下のようになっています。
W1 = Log( coth(|u|×Ln(10)/2 )，u=Log(ω/ω0)
W2 = Ln( coth(|t|/2) )，u=Ln(ω/ω0)
よって、
W1 = Log( coth(|Log(ω/ω0)|×Ln(10)/2 ) = Ln( coth(|Ln(ω/ω0)/Ln(10)|×Ln(10)/2 )/Ln(10)
= Ln( coth(|Ln(ω/ω0)|/2 )/Ln(10)
Ln(ω/ω0)は、W2で定義されたuであり即ち、W2 = W1 × Ln(10) ≒ 2.3026 × W1
よって2.3倍以上も違います。この数値では気にしない程度とは言えません。
いかがでしょうか。

補足

(お礼欄には記しきれませんでしたので、補足に追記させていただきました。)

最終目的の「∫{u=-∞→∞}W(u)du を求める」については、
手持ちの制御工学の教科書には、W1が記載されており、上記積分はπ^2/2となるとありました。
W2の方もネットで調べた以下URLでも上記積分は、π^2/2となると記載されています。
( http://www.fl.ctrl.titech.ac.jp/course/FC/07FC/handouts/FC_05th/FC_05th.pdf )
そこで、質問に記載したとおり、簡略化しW1から、W2が導かれπ^2/2が導き出されるものと思い、質問させていただいた次第です。
しかもW2については、数学的に証明したところπ^2/2が示せました。（他の質問参照、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4267178.html )

しかし、お礼欄に記載させていただいたとおり、uの定義に違いがあることに気づきました。当然積分の結果も違うはずです。
ところが、エクセルでグラフを描いてみるとおかしな事が起こりました。

(1)W1をω/ω0=0.01～100まで描いて、総和を計算すると約π^2/2になる。
（数学的には、W2について∫{u=-∞→∞}W(u)du=π^2/2が証明され、∫W1(u)du=∫W2(u)du/Ln(10)になっている。)
(2)W2を同じ範囲描いて、総和を計算すると、数学的にはπ^2/2になるが、実際には(1)のとおり、Ln(10)倍になる。（(1)と同じことを言っているわけですが、念のため）

この、「数学的な証明」によるものと「エクセルによって描いた実際」との矛盾はなんでしょうか。
ご存知でしたらご教示いただきたくお願いいたします。