積分の問題の質問

質問

積分の問題で解けないものがあるので、解る方教えてください＞＜

1, ∫6/x dx

2, ∫5x^2+1/x^2 dx

3, ∫6x^2/x^3+3 dx

4, ∫x+1/x^2+2x+5 dx

宜しくお願いします！

回答No.1

info22_

以下　Cは積分定数とします。

1,
∫6/x dx = 6 ln(|x|) +C

2,
>∫5x^2+1/x^2 dx
∫5x^2+(1/x^2) dx なら
=(5/3)x^3 -(1/x) +C

∫(5x^2+1)/x^2 dx なら
　=∫5+(1/x^2) dx
　= 5x -(1/x) +C

3,
∫6x^2/(x^3+3) dx
　=2∫(x^3)'/(x^3+3) dx
合成関数の積分公式より
　=2 ln(|x^3 +3|) +C

4,
∫(x+1)/(x^2+2x+5) dx
x+1=tで置換積分して
　=(1/2)∫(t^2)'/(t^2+4) dt
合成関数の積分公式より
　=(1/2)ln(|t^2+4|) +C
元の変数xに戻して
　=(1/2)ln((x+1)^2 +4) +C
　=(1/2)ln(x^2+2x+5) +C