積分の問題でどうしてもうまくいかないところが・・・

質問

ものすごくつまらないミスをしてそうなのですが全然わからないので質問させていただきます。

∫[-∞～∞](x^2)*exp(-x^2)dx

ある問題の途中式にこの積分が出てきました。
私が普通にコレを（そのまま、積分、微分、積分のやつで）
部分積分をしたら
[(-x/2)*exp(-x^2)][-∞～∞]　+　∫[-∞～∞]exp(-x^2)dx

となり、左側は０、右側はガウス積分を用いて√π
つまり結果は√π　となったのですが、

解答を見ると、左側は良いのですが、どうも右側が

+ 1/2{∫[-∞～∞]exp(-x^2)dx}

となるらしく、係数1/2がついていました。

この1/2はいったいどこから来たのかが全然わからなくて
悩んでいます。

解答が間違っているのでは・・・と思ったんですが
別の問題でも、まったく同じ積分が出てきたときに
同様に係数1/2がついてたので、その考えは、自分の中で一度却下しました。

言葉足らずで申し訳ありませんが、どなたか教えてください。

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

x^2*exp(-x^2)を
=x*{x*exp(-x^2)}と考えて、

部分積分の公式
∫F(x)g(x)dx=[F(x)G(x)] - ∫f(x)Gx(x)dx
において、
F(x)=x
g(x)=x*exp(-x^2)
と考えます。

f(x)=F'(x)=1
(exp(-x^2))'=-2x*exp(-x^2)となるので、
G(x)=-1/2*exp(-x^2)になります。

なので、
∫[-∞～∞](x^2)*exp(-x^2)dx
=[x*(-1/2)*exp(-x^2)][-∞～∞] -∫[-∞～∞]1*(-1/2)*exp(-x^2)dx
=[(-x/2)*exp(-x^2)][-∞～∞] + 1/2∫[-∞～∞]exp(-x^2)dx
となります。

お礼

なるほど！そう考えるんですかー！
確かにうまく行きました！

部分積分

∫F(x)g(x)dx=[F(x)G(x)] - ∫f(x)G(x)dx

において、私は、F(x)=x^2としてました。

いや、本当にありがとうございました。

回答No.2

carvelo

∫f(x)g'(x)dx
＝f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx
ですから
∫(x^2)*exp(-x^2)dx
＝∫x*(-1/2)*{exp(-x^2)}'dx
＝(-1/2)*x*exp(-x^2)-(-1/2)*∫x'*exp(-x^2)dx
　＝(-1/2)*x*exp(-x^2)+(1/2)*∫exp(-x^2)dx
（f(x)＝(-1/2)*x、g(x)=exp(-x^2)ですね）

ですよ。
単なるうっかりミスでしょうか？