積分の問題で質問があります。

質問

積分の問題で質問があります。

次の問題が解けずに困っています。

∫(x(x^2+1))/(x^3+1) dx

なんですが、どうすれば解けますでしょうか？

答えまで導いていただける方、どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

分母を x↑3 + 1 = (x + 1)(x↑2 - x + 1)
と因数分解して、部分分数分解
x(x↑2 + 1)/(x↑3 + 1)
= 1 + (x - 1)/((x + 1)(x↑2 - x + 1))
= 1 - (2/3)/(x + 1) + (1/3)(2x - 1)/(x↑2 - x + 1)
積分して、
与式 = x -(2/3)log(x + 1) +(1/3)log(x↑2 - x + 1) +(積分定数)

第三項の処理が特別簡単になるケースだった。

お礼

ありがとうございます！とても、参考になりました。

回答No.1

Anti-Giants

x(x^2+1)/(x^3+1) = 1 + (x-1)/(x^3+1).

部分分数展開する
(x-1)/(x^3+1) = A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2-x+1).
両辺の分子の係数を比較してA,B,cを求める

あとは計算するだけ