定積分の問題で解けない問題があります。

質問

広義積分　∫logsin(x) dx = -Pi/2 log(2)　(積分範囲 0,Pi/2)
が解っている前提で、

　∫(x^2)log(x)/√(1-x^2) dx (積分範囲 0,1)

これは、x=sin(x)と置いて部分積分でガチャガチャやって計算できたのですが、

　∫log(1+x)/1+x^2 dx (積分範囲 0,1)
∫(x-(Pi/2))tanx dx (積分範囲 0,Pi/2)
∫log(1+cos(x)) dx (積分範囲 0,Pi)

等の計算がうまくいきません。
自分としては、最初の問題で
1/√(1-x^2)=(arcsinx)'
というのが使えそうな気がしてならないんですが・・・

解る方がいればヒントだけでもいいので教えていただければ、と思い投稿しました。
よろしくお願いします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

＞∫log(1+cos(x)) dx (積分範囲 0,Pi)
log内を半角の公式を使い、log cos(x/2)の積分になり、x/2=(Pi/2)-yの変換をすると　log(sin y)の積分となる。

＞∫log(1+x)/(1+x^2) dx (積分範囲 0,1)
x=tan t　で log(sin t + cos t) と log(cos t)の積分になる。 t=(Pi/4)-x により、同じlog(cos x)の積分の差(=0)と解となる定数部になる（log(cos x)の積分部が発散しないことを評価する必要があるかもしれないが、これは上記のようにlog(sin x)の積分の部分となる）。

＞∫(x-(Pi/2))tanx dx (積分範囲 0,Pi/2)
tan x を積分する部分積分行うとlog(cos x)の積分になるが x=Pi/2-yで log(sin y)の積分になるが、定数部で lim[x→0]x(tan x)→0 を示す必要あり。

お礼

ありがとうございます、だいぶ参考になりました。
詳しい解説で助かります。
あとは自力でやってみることにします。

回答No.2

endlessriver

＃１です。最後の
lim[x→0]x(tan x)→0 を示す必要あり。
は
lim[x→Pi/2](x-Pi/2)(log cos x)→0 を示す必要あり。
の誤りでした。