数III 曲線の長さ

質問

条件(1)(2)をみたす曲線cの方程式y=f(x) (x≧0)を求めよ。
(1) 点(0,1)を通る。
(2) 点(0,1)から曲線c上の任意の点(x,y)までの曲線の長さLがL=e^(2x)+y-2で与えられる。

よろしくお願いします。

回答No.2

info33 · ベストアンサー

y=f(x) (x≧0)は連続かつ微分可能で f′ (x) も連続という条件が必要です。
曲線 y=f(x) の 0≤x≤t の部分の長さL は，
L= ∫[0,t] √{1+(f′(x))^2} dx
という公式を使います。

題意より
L(t)=e^(2t)+y-2=e^(2t)+f(t)-2= ∫[0,t] √{1+(f′(x))^2} dx
tで微分して
L'(t)=2e^(2t)+f'(t)=√{1+(f′(t))^2}
L'^2(t)=4e^(4t)+f'^2(t)+4e^(2t) f'(t)=1+(f′(t))^2
4e^(4t)+4e^(2t) f'(t)=1
4e^(2t) f'(t)=1-4e^(4t)
f'(t)= (1/4)e^(-2t) -e^(2t)
f(t)= -(1/8)e^(-2t) -(1/2)e^(2t) +c
f(0)= -1/8 -1/2 +c= c -5/8 =1
c= 1+5/8= 13/8
f(t)= -(1/8)e^(-2t) -(1/2)e^(2t) +13/8
t を x で置き換える。
∴ f(x)= -(1/8)e^(-2x) -(1/2)e^(2x) +13/8

お礼

ありがとうございました。
積分定数の値を出すところでf(0)を使えばよかったのですね。
(当方、e^(2t)+y-2=e^(2t)+f(t)-2= ∫[0,t] √{1+(f′(x))^2} dxの式にf(t), f'(t)を代入して詰まってました。)

回答No.3

gamma1854

条件より、
∫[0 ~ x]√{1 + (f'(t))^2}dt = e^(2x) + f(x) - 2.
ですから、両辺をｘで微分し、平方して整理すると、
f'(x) = {1 - 4*e^(4x)}/(4*e^(2x)) = (1/4)*e^(-2x) - e^(2x).
となりこれから、
f(x) = (-1/8)*e^(-2x) - (1/2)*e^(2x) + C.
を得ます。さらに、f(0) = 1 より、C = 13/8.

お礼

解法を参考にし、解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.1

EH1026TOYO

題意から
L=e²ˣ + f(x) - 2 =∫[0,x]√(1+{f'(x)}²)dx
両辺微分して
2e²ˣ + f'(x) = √(1+{f'(x)}²)
ルートを払って整理
4e⁴ˣ + 4e²ˣf'(x) = 1
f'(x) = (1/4)e⁻²ˣ - e²ˣ
∴f(x) = -(1/8)e⁻²ˣ - (1/2)e²ˣ + C
1=f(0)=C-5/8よりC=3/8

よって
f(x) = -(1/8)e⁻²ˣ - (1/2)e²ˣ + 3/8

お礼

解法を参考にし、解くことができました。
ありがとうございました。