因数定理です

質問

x3乗－５x＋ａがx－2で割り切れるようにａの値を定めなさい。
という問題なのですが解説が

ｆ(x)＝X3乗－５x＋ａとおくと、ｆ(2)＝0だから、2の3乗－5・2＋ａ＝0
とかいてあったのですがよく意味がわかりません(>_<)
詳しく教えてもらえたら助かります。よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

f(x)=x^3-5x+aがx-2で割りきれる、ということは、
f(x)=x^3-5x+a=(x-2)(bx^2+cx+d)の形に書ける、ということです。
さて、f(x)=(x-2)(bx^2+cx+d)の両辺にx=2を代入すると、
左辺=f(2)
右辺=(2-2)(4b+2c+d)=0
となりますね。
これが、「f(2)=0だから、2^3-5・2+a=0」の意味です。

お礼

いろいろみてやっとわかりました(*^▽^*)
ありがとうございました(^O^)

回答No.4

birth11

x^3 - 5 x + a は x - 2 を因数に持つ。だから x - 2 で割り切れる。ということです、
つまり、f ( x ) = x^3 - 5 x + a とおくと、…………………( i )
f ( x ) = ( x - 2 ) ( x^2 + b x + c ) とも表せます。…………( ii )
これに x = 2 を代入すると当然 f ( 2 ) = 0 * ( 2^2 +2 b + c ) = 0 となります。
f ( x ) = x^3 - 5 x + a でもあるので、
f ( 2 ) = 2^3 - 5 * 2 + a = 0
したがって、8 - 10 + a = 0
∴ a = 2………………………(答)

以上が本問題の解説です。

別解としましては、
( ii ) より
f ( x ) = x^3 + b x^2 + c x - 2 x^2 - 2 b x - 2 c
= x^3 + ( b- 2 ) x^2 + ( c - 2 b ) x - 2 c
これと( i ) の係数を比較すると、
b - 2 = 0
c - 2 b = - 5
- 2 c = a

よって順に計算していって
b = 2
c = - 1
a = 2…………………(答)

ちなみに、別解では f ( x ) = ( x - 2 ) ( x^2 + 2 x - 1 ) ということもわかる。
a の値だけを求めたいときは本問題の模範回答で十分と言える。

回答No.3

KEIS050162

＞x3乗－５x＋ａがx－2で割り切れる
という条件のとき、
＞ｆ(x)＝X3乗－５x＋ａとおくと、ｆ(2)＝0だから…

これが分からないということは因数定理が理解出来ていないようですね。因数定理については既に回答があるとおりなので、教科書、参考書の因数定理の項と合わせて復習してみてください。

二次関数の因数分解（中学生くらいの時に散々やったと思いますが）の復習をかねて、これでやってみると、

ｆ（ｘ）　＝　ｘ＾２　－　ｘ　＋　－２

これは簡単に

ｆ（ｘ）　＝　（ｘ＋１）（ｘ－２）

と因数分解できます。因数は、（ｘ＋１）　と　（ｘ－２）　です。

ｆ（ｘ）　＝　０　とおいて二次方程式を解くと、ｘ＝－１、２　が解ですね。
ということは、　ｆ（－１）＝０　もしくは、　ｆ（２）＝０
が成り立つということです。

今回の問題は三次関数になっているだけで、考え方は一緒です。
以下は、既回答者殿の解説を読んでみてください。

ご参考に。

回答No.2

aries_1

x`3-5x+aがx-2で割り切れるということは、x`3-5x+a=(x-2)(px`2+qx+r)…(1)(←p,q,rは実数)と因数分解できるということです。
(1)にx=2を代入すると、(x-2)(px`2+qx+r)=0となり、(1)の右辺は0になります。
よって2`3-5×2+a=0という等式が成り立ちます。

お礼

そうゆうことだったのですね！
わかりやすく教えていただきありがとうございます(^^)/