剰余・因数の定理

質問

X＾3＋aX^2－4X＋bを（X＋1）（X－3）で割った時の余りが5X＋5である。このときaとbの値を求めよ。
という問題なんですが、普通に割り算をしてみたんですけど、Xが消えなかったりで答えが出ません。
答えはa＝1、b＝－4です。
やり方を教えてください

回答No.1

info22 · ベストアンサー

f(X)=X＾3＋aX^2－4X＋b=(X-c)(X＋1)(X－3）+5x+5
とおける。
f(-1)=-1+a+4+b=0
f(3)=27+9a-12+b=20

a+b=-3 …A
9a+b=5　…B

B-Aから

8a=8
a=1
b=-a-3=-4

お礼

ありがとうございました。
やってみたらできました！

回答No.3

debut

参考に、割り算でやった場合。
(x+1)(x-3)、つまりx^2-2x-3で割ると、
最初に　商ｘをたてて　かけたものが
x^3-2x^2-3x だから　x^3+ax^2-4x+b から引いて
(a+2)x^2-x+b。
次に　商(a+2)をたてて　かけたものが
(a+2)x^2-2(a+2)x-3(a+2) だから　(a+2)x^2-x+b
から引いて　余りが　(2a+3)x+b+3(a+2)
これが５ｘ＋５なので、2a+3=5かつb+3(a+2)=5。
（筆算）
　　　　　　x+(a+2)
x^2-2x-3 ）x^3+ax^2-4x+b
　　　　　　x^3-2x^2-3x
　　　　　－－－－－－－－
　　　　　　　(a+2)x^2-x+b
　　　　　　　(a+2)x^2-2(a+2)x-3(a+2)
　　　　　　　－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　(2a+3)x+b+3(a+2)
のようにできます。

お礼

詳しく説明してくれてありがとうございます、
おかげで解けました！

回答No.2

Tacosan

普通は #1 みたいに「x に -1 を代入して～」とかやるけど, 馬鹿正直に「(x+1)(x-3) で割って余りが 5x+5 」を式で書いても解けますよ.
ちなみに, どんなふうになってうまくいかなくなりました?

お礼

#1のやり方でやってみたら解けました。
回答ありがとうございました。