三次関数の問題です。教えて下さい。

質問

3次関数ｆ（ｘ）＝ｘの三乗-（a＋３）ｘの二乗＋３ax-2b（a,bは定数）があり、
ｆ′（２）＝-３を満たしている。
関数ｆ（ｘ）の極大値をＭ、極小値をｍとする。Ｍ-２ｍ＝７であるときのｂの値を求めよ。
また、ｘ≦ｂにおけるｆ（ｘ）の最大値がｂの二乗-１５であるときｂの値を求めよ。

また、ｘ≦ｂにおけるｆ（ｘ）の最大値がｂの二乗-１５であるときｂの値を求めよ。の部分
の考え方と解き方が分かりません・・
詳しい解説を書いていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x)=x^3 -(a+3)x^2 +3ax-2b ...(1)
f'(x)=3x^2 -2(a+3)x+3a ...(2)
f'(2)=-3より
f'(2)=12-4(a+3)+3a=-a=-3 ∴a=3

f(x)=x^3 -6x^2 +9x -2b
f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0とするxは x=1,3

x^3の係数1>0より
x=1の時極大値f(1)をとり、x=3の時極小値f(3)をとるから
M=f(1)=4-2b, m=f(3)=-2b

M-2m=7より
4-2b+4b=7
2b=3
b=3/2

>「また、ｘ≦ｂにおけるｆ（ｘ）の最大値がｂの二乗-１５であるときｂの値を求めよ。」の部分
の考え方と解き方が分かりません・・

bの範囲で最大値がf(1)となったりf(b)となって、変わるので、bの範囲で場合分けして考えるようにします。

x≦bの時の最大値=b^2-15であるから

b≦1の時最大値f(b)=b^3-6b^2+7b=b^2-15
b^3-7b^2+7b+15=0
(b+1)(b-3)(b-5)=0
b≦1より b=-1

1≦b＜4の時最大値f(1)=4-2b=b^2-15
b^2+2b-19=0
1≦b＜4より　b=2√5 -1

4≦bの時最大値f(b)=b^3-6b^2+7b=b^2-15
b^3-7b^2+7b+15=0
(b+1)(b-3)(b-5)=0
4≦bより　b=5

以上まとめると条件を満たすbは以下の3通り存在します。
b=-1, 2√5 -1, 5

お礼

とても分かりやすい回答ありがとうございます。
もう一度これをみてやり直してみたいと思います。
本当にありがとうございました！