因数分解

質問

（１）ｘについての４次式
　　ｆ（ｘ）＝ｘ４乗－ａｘ３乗＋（－２ａ２乗＋ａ＋４）ｘ２乗＋（－２ａ２乗＋４ａ）ｘ＋４ａ
をｘについての２次式の積に因数分解せよ。
（２）４次方程式ｆ（ｘ）＝０が実数解をもたないような実数ａの値の範囲を求めよ。

読みにくくて申し訳ありません。（１）の問題がどこから手をつければいいのか分かりません。（２）は、判別式を使えばいいのかと思いますが、（１）が分からないので、分かるはずもなく悩んでいます。どなたか、おしえてください。

回答No.5

tarame · ベストアンサー

なかなか難しい因数分解ですね！
このような時は、ｘ以外の文字に注目して整理しなおしてみましょう。
（次数が低い文字に注目すると、よいみたいです）
ここでは、a に注目して整理しなおすと

-2x(x+1)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^2(x^2+4) となります

これを「a の２次式」とみて、「たすきがけ」を使って因数分解してみましょう。
組み合わせを見つけるのが、ちょっと大変ですが、連立方程式を解くよりは簡単かも……？

お礼

ありがとうございます。
こういうやり方もあるのですね。
大変勉強になります。

回答No.7

hinebot

#6です。

>f(x)の3次の係数は　-a ですから、pもrもa^2の倍数にはなり得ません。
>なので、p=ma, r=na の形にしかなりません。

ここですが、正確には
「a^2の倍数の項を含み得ない」
「p=ma+k,r=na-k （p+r=-a なので定数部分は±0になる必要あり）の形にしかならない」
となるでしょう。
が、#6の通り進めても構わないと思います。
最後に、展開して検算してください、と言ったのはこのためです。

なお、1次の係数はps+qr で、p,rに上の式を代入すると
ps+qr = (ma+k)s+(na-k)q　=(ms+nq)a+ks-kq
となります。
ここで、定数項4a からq,sのどちらか一方はaを含まない（純粋な定数）のは明らかですから、
ksか-kq のどちらかがaを含まない項になります。
しかし、1次の係数は　-2a^2+4a　でaを含まない項はないので
このaを含まない項は0になります。
そして、q,sのうちaを含まない方は0にはならないので、
k=0 であることが分かります。

回答No.6

hinebot

問題(1)について
f(x) = x^4 -ax^3+(-2a^2+a+4)x^2+(-2a^2+4a)x+4a

「2次式の積に因数分解せよ」という問題ですから、結果は
(x^2+px+q)(x^2+rx+s)　---(#)
という形になるはずですね。
まず、3次（x^3)の係数に注目します。
(#)を展開すると3次の係数は p+r
f(x)の3次の係数は　-a ですから、pもrもa^2の倍数にはなり得ません。
なので、p=ma, r=na の形にしかなりません。

次に定数項と2次(x^2)の係数に注目します。
(#)で定数項は qs、2次の係数は　pr+q+s ですね。
ここで元の式の定数項は4a,2次の係数は -2a^2+a+4 です。
p=ma, r=na の形であることを踏まえ、2次の係数を比べれば
pr=mna^2=-2a^2
q=a
s=4
になることは、容易に推測できるかと思います。
これで、qとs はでました。
あとは、pとr ですが　mn = -2 、m+n=-1（x^3の係数より）なので
(m,n)=(-2,1) or (1,-2)
すなわち、(p,r)=(-2a,a),(a,-2a) しかありません。
これのどちらになるかを特定するために、残った1次(x)の係数を使います。
(#)の1次の係数は　ps+qr　です。
これに q=a,s=4を代入すると 4p+ar となり、
f(x)の1次の係数は -2a^2+4a ですから p=a,r=-2aの方と分かります。
以上から
f(x)=(x^2+ax+a)(x^2-2ax+4)
となります。
（最後に展開して、確かに一致することを確かめるといいでしょう）

問題(2)について
f(x)=(x^2+ax+a)(x^2-2ax+4)
とできました。
4次方程式f(x)=0 が実数解を持たないということは、
2つの2次方程式 x^2+ax+a=0 --[1], x^2-2ax+4=0 --[2]
が、ともに実数解を持たないということです。
あとは分かりますね。
[1]の判別式　D1＜0 かつ、[2]の判別式 D2＜0 です。
この先はご自分で考えてください。

お礼

ありがとうございました。　
大変助かりました。

回答No.4

yaksa

係数が整数の２次式に因数分解できるとはどこにも書いてないんで、＃３を回答に書くのは、もしかしたらまずいかも。。。まあ気にすることはないとは思うけど。
もちろん、計算用紙上では、当然＃３のように置くべき。

ちなみに、g(x)とh(x)のx^2の係数を１と置いてるのは一般性を失っていないからＯＫ

回答No.3

kajina

＃２です。
＃１さんのとおりですが、もう少し文字を減らしておいた方がよいと思います。因数分解できるとわかっているので、定数項に注目して、
{g(x), h(x)}={x^2+px+4, x^2+qx+a}, {x^2+px+2, x^2+qx+2a}
といった風におくはどうでしょう。

お礼

そうですね。その方が文字も減って、すっきりとできました。ありがとうございました。

回答No.2

kajina

f(x)=0⇔-(-4+2ax-x^2)(a+ax+x^2)=0
となることを申し添えておきます。
(2)はお考えのとおりでよいとおもわれます。

回答No.1

yaksa

２次式の積に因数分解できるって分かってるんなら、
g(x)=x^2+b*x+c
h(x)=x^2+d*x+e
と置いて、
f(x)=g(x)h(x)
の両辺の係数を比較すればいいだけなのでは。

お礼

ありがとうございます。
大変助かりました。