因数定理について。

質問

整式f(x)を(x-1)^2で割ったときの余りは2x+1,x+2で割ったときの余りりは3であるとき，f(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りの求め方で質問があります。
余りをax^2+bx+cとおいて因数定理を用いるまでは分かるのですが，x=-1,x=2の2つを代入するまでしか分からず，a,b,cを求めるための式が2つしか出てきません。
このあとどのようにして解を求めていけば良いのでしょうか。
アドバイスよろしくお願いします。

回答No.6

info22

#4です。
A#4で
最後の式で少し計算ミスがあり訂正します。
＞余り=(2/3)(x-1)^2 +2x+1=(2/3)(x^2 -2x+1+6x+3)=(2/3)(x^2 +4x+4)
余り=(2/3)(x-1)^2 +2x+1=(2/3)(x^2 -2x+1+3x+3/2)=(2x^2 +2x+5)/3

回答No.5

kkkk2222

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昨日、同じ形を書いたので、式を変えて書きます。
３通りの方法があるようです。

剰余を、
Ａ［(x-1)＾2］＋Ｂ［x-1］＋Ｃ　と置くのが技巧。

＞＞(x-1)^2、2x+1
＞＞x+2、3
Ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）［(x-1)＾2］＋（2x+1）
Ｆ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）［x+2］＋３

F(x)=J（x）［(x-1)＾2］(x＋2）+Ａ［(x-1)＾2］＋Ｂ(x-1)＋Ｃ

＊　Ｆ（１）＝３より、＜Ｃ＝３＞
F(x)=J(x)［(x-1)＾2］(x＋2）+Ａ［(x-1)＾2］＋Ｂ(x-1)＋３

此の式は、(x-1)＾2 で括ると、
F(x)=［J(x)(x＋2）＋A］［(x-1)＾2］＋Ｂ(x-1)＋３

(x-1)＾2で割った剰余が、2x+1、
Ｂ(x-1)+３＝2x+1
Ｂx+(３－Ｂ)＝2x+1
此れは（恒等式）なので、
＊　＜Ｂ＝２＞

F(x)=J(x)［(x-1)＾2］(x＋2）+Ａ［(x-1)＾2］＋２(x-1)＋３
＊　Ｆ（－２）＝３より、　９Ａ－６＋３＝３　＜Ａ＝(2/3)＞

＊＊　剰余は、(2/3)［(x-1)＾2］＋2(x-1)＋3
展開すると、
(2/3)（x^2)-(4/3)x+(2/3)+2x-2+3
＝(2/3)（x^2)＋(2/3)x＋(5/3) 　（解）
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（割り算）だけで解くと、

普通に、F(x)=J（x）［(x-1)＾2］(x＋2）+A(x＾2)＋Ｂx＋Ｃ、と置いて、

Ｆ（１）＝３　→　　　　＜Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３＞
Ｆ（－２）＝３　→　＜４Ａ－２Ｂ＋Ｃ＝３＞
　　　　　　　　　　　－３Ａ＋３Ｂ＝０　　
＜Ａ＝Ｂ＞、＜Ｃ＝３－２Ａ＞

F(x)=J（x）［(x-1)＾2］(x＋2）+A(x＾2)＋Ａx＋（３－２Ａ）

此れを強引に［(x-1)＾2］で割ると、商はＡ、剰余が　３Ａx＋（３－３Ａ）、
３Ａx＋（３－３Ａ）＝2x+1、

Ａ＝(2/3)、Ｂ＝(2/3)、Ｃ＝(5/3)
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(微分）を使用すると、＜積の微分＞

F(x)=J（x）［(x-1)＾2］(x＋2）+A(x＾2)＋Ｂx＋Ｃ
Ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）［(x-1)＾2］＋（2x+1）
Ｆ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）［x+2］＋３

上記の　＜Ａ＝Ｂ＞、＜Ｃ＝３－２Ａ＞は同じ。

F'(x)=［J（x）'((x-1)＾2)+2J（x）(x-1)］＋２Ax＋Ｂ
Ｆ'（１）＝２Ａ+Ｂ

F'(x)＝Ｐ'（ｘ）［(x-1)＾2］＋Ｐ（ｘ）［２(x-1)］＋２
Ｆ'（１）＝２
　　　　　　　＜２Ａ+Ｂ＝２＞

連立方程式をを解いて終了です。
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回答No.4

info22

余りの式を形式的に２次式でおくことにより、定数をa,b,cの３個を使って連立方程式を解かないといけなくなります。
できるだけ与えられた条件を生かすように余りの式を作れば、定数を減らすことができ、連立方程式を解く必要もなくなります。

余りの式の作り方は以下のようにおきます。
f(x)=p(x)(x+2)(x-1)^2 +a(x-1)^2 +2x+1
余りr(x)=a(x-1)^2 +2x+1　で未知数はaだけになります。
このaを決めるのは２番目の条件で
f(-2)=3=9a+-4+1
9a=6
a=2/3
余り=(2/3)(x-1)^2+2x+1=(2/3)(x^2-2x+1+6x+3)=(2/3)(x^2 +4x+4)

この様な工夫で連立方程式を解かなくて、それだけミスの発生を防げます。やたら未知数を多くしない工夫も大切です。

回答No.3

noname#56760

f(x)=h(x)(x-1)^2+2x+1―(1)
f(x)=ｍ(x)(x+2)+3―(2)
f(x)=g(x)(x-1)^2(x+2)＋ax^2+bx+c―(3)
(1)の両辺を微分して
f'(x)=h'(x)(x-1)^2+h(x)2(x-1)+2―(4)
(3)の両辺を微分して
f'(x)=g'(x)(x-1)^2(x+2)＋g(x){2(x-1)(x+2)+(x-1)^2}+2ax+b―(5)

後はf(1)=3
f(-2)=3
f'(1)=2
を使えば３式出ます。

回答No.2

debut

f(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの商をg(x)、余りを
ax^2+bx+c とすれば、f(x)=(x-1)^2(x+2)g(x)+ax^2+bx+c。
ここで、最初の、f(x)を(x-1)^2で割ったときの余りは2x+1
にもどってみると、(x-1)^2(x+2)g(x)は(x-1)^2で割り切れ
るので、余り2x+1はax^2+bx+cを(x-1)^2で割ったときに
出てくることになります。
そこで、割り算 (ax^2+bx+c)÷(x^2-2x+1)をしてみると
商 a 、余り (2a+b)x+(c-a)となります。
この余りと2x+1の係数を比較すれば２つの式が出ます。

No1のかたの回答を、言い方を変えただけでした。

回答No.1

koko_u_

f(x) = (x-1)^2(x+2)g(x) + ax^2 + bx + c を (x-1)^2 で割ったときのあまりが 2x+1 だから

f(x) - 2x - 1 = (x-1)^2(x+2)g(x) + ax^2 + (b-2)x + (c-1) が (x-1)^2 で割れるはずです。

x = 1 と -2 を代入しただけではまだ (x-1) で割れる条件した使っていないことに注目しましょう。