剰余の定理、因数定理

質問

下の画像のような問題がわかりません

「(ｘ＋１)^2で割り切れる」とありますが２乗がついている場合はどうやればよいかまったく見当がつきません

ただ単に「（ｘ＋１）で割り切れる」でしたら
ｘ＝－１を与式に代入し、代入した式＝０で求められると思うんですが。

教えてください。

回答No.2

arrysthmia

No.1 が、標準的な答えだと思いますが…

x = -1 を代入することを思いついたのなら、
それをやってみては、どうでしょう？

因数定理から、0 = a - b - 2 となりますね。
それを、P の定義式へ代入し戻して、
P(x) = x^3 + a x^2 + (a-2) x - 1
　　　= (x + 1){ x^2 + (a-1) x -1 } です。

x^2 + (a-1) x -1 が、もう一度 x + 1 で割り切れる
訳ですから、もう一度、因数定理が使えます。

ゴタゴタした解法ですが、自分の解法を完遂した上で
他の解法と比べると、理解が深まります。

回答No.1

kaede_h

＞P(x)が(x+1)^2で割り切れる
とあるので、その時の商をpx+qとすると、
(∵P(x)はxの三次式なので、Z(x)はxの一次式になる事に注意します。)
P(x)= (x+1)^2 * px+q と表せますよね。

これを展開してみると、
x^3+ax^2+bx-1 = (x^2+2x+1) * (px+q) = px^3+・・・+q　(途中省略)
となります。

後は、それぞれの項の係数を比べましょう。
p=1,q=-1となるので、Z(x)=x-1だったわけですね。

要は、P(x)を割り切れるのは、(x+1)^2の他にも、x-1もあったわけです。
後は分かりますよね。

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ココからは余談ですが・・・
おそらく、14291013さんは(x+1)^2で割り切れる事が分かっているので、
x=-1を代入してみたと思います。

すると、a-b-2=0となりましたよね？
おそらくココから先が分からなかったと・・。

えっと、これから高校数学を解く上で、
もしまたこういった二元方程式(分からない文字が二個ある式)が出てきたら、
必ず"もう一本同じ式を作って連立しないと解けない"という事を頭に入れて置いてください。

逆に言うと、"もう一本式が作れれば解ける"ということです。

今回、この短い問題文の中から、どのようにもう一本の式を作るかを考える・・・
今回は、定数項の-1に注目すると言った話ですね。

この練習を積み重ねていくと、今後の問題がかなり楽になりますよ。
頑張ってください。