高校数学です。ｆ(x)=ax^2+bx＋ｃにおいて

質問

2次方程式ｆ(x)=0の解がx=α、βのとき(つまりｆ(α)=0、ｆ(β)=0）のとき、
ｆ(x)=a(x-α)(x-β）と式変形が出来る。
また
ax^2+bx＋ｃ≦０においても、ax^2+bx＋ｃ＝０の解がx=α、βのとき、a(x-α)(x-β）≦０と式変形ができる。

という公式はありましたっけ？？

ご回答よろしくお願いします。

回答No.4

statecollege · ベストアンサー

ANo1の追記です。質問は

(1)　f(x)=ax^2+bx+c

(2)　g(x)=a(x-α )(x-β )

とするとき、f(α）＝ｆ（β）=0ならば、

(3)　f(x) = g(x)

を示すことですが、ｆ（α）＝ｆ（β）＝０ならば、いわゆる「解と係数の関係」

　α＋β=　-b/a
　αβ= c/a

が成り立つので、私の解答では、これを用いて(3)が成り立つことを示したのです。もちろん、「解と係数の関係」は当然勉強済みであることがことが前提ですが、この関係は2次関数の重要な性質(公式）の一つですから、もし知らなかったら、覚えておく必要があるでしょう！この関係を導くためには、解の公式

(4)　　　α,β= [-b±√（b^2-4ac)]/2a

を上の「解と係数の関係」の2つの式の左辺に代入すればよい（左辺が右辺に等しくなることが直ちに導かれます）。

ANO3さんが指摘されているように、(3)が成り立つことは

　f(α)=f(β)＝０

より、ｄを任意の実数として

　　f(x)=d(x-α)（ｘ－β）

と書けることから直感的にはあきらかです。しかし、f(x)=g(x)が成り立つことをいうためにはこの定数ｄがaに等しいことを示すことが必要です。これがなかなか面倒です（ANO3さんの回答には「調整」という言葉は使われていますが、厳密には示されていません）。私は「解と係数の関係」を用いることが一番分かりやすいと考えてANo１のように回答をしたのです。もちろん「解と係数の関係」を知らなかったら、

　　g(x)=a(x-α)(x-β）

のαとβに(4)の解の公式を代入して、展開し、この式の右辺がf(x)に等しくなることを示してもかまいません。これが（エレガントではないけれど）一番直接的で、分かりやすい方法かもしれません。

お礼

なるほど、分かりやすかったです。

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

suko22

＞2次方程式ｆ(x)=0の解がx=α、βのとき(つまりｆ(α)=0、ｆ(β)=0）のとき、
＞ｆ(x)=a(x-α)(x-β）と式変形が出来る。
これは公式といえば公式かも。でも公式として覚えなくても、次のように理解しておけば覚えておかなくても必要なときにいつでも引き出せるようになります。

直感的な理解。

2次方程式は3つの定数をつかって一般にax^2+bx+c=0と表せます。

ここでこの2次方程式の実数解が2つあって、それらをα、βとすると、
a(x-α)(x-β)=0と3つの定数を使って上式の左辺を変形できます。（3つの定数で表せているというのがポイント）
この方程式を解くと、当たり前ですがx=α,βとなることからもこの式変形は正しいことがわかります。

先頭のaはx^2の係数がaになるように調整するためにつけたものです。
このことを理解するために、
2次関数で考えると、y=ax^2+bx+cのx^2の係数aは関数の広がりの程度がを表していることから、
y=a(x-α)(x-β)と右辺を因数分解するときにもx^2の係数をaにあわせる必要があるのでaをつける必要があります。両方とも未知数が３つで表されており、表現としてはどちらをつかってもよいと考えられます。

ちなみに未知数３つ使って２次関数はy=a(x-p)^2+qとも表せます。これは頂点や軸を知りたいときに有用です。

よって、２次関数は一般に未知数３つを使って、
y=ax^2+bx+c
y=a(x-α)(x-β)
y=a(x-p)^2+q
などと表せます。

どれを使うかはそのときの与えられている条件次第です。
y=0の解が２つ実数で与えられていたら２番目の式を使うと一発で式が決まります。

ちょっとくどかったですか？
私はこんな風に考えています。
参考になれば幸いです。

因数定理を学習すればこれは当たりまえのことになります。（説明は省略します）

お礼

くどい方がむしろ分かりやすいです。ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

どっちかというと「因数定理 (+α)」の方が適切では＞#1.

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

statecollege

あります。この関係を「解と係数の関係」といいます。解と係数の関係式

　　　α＋β = - b/a
　　　　αβ = c/a

を　

　　　a(x -α)(x-β）＝　ax^2 -a(α＋β）+ aαβ

の右辺に代入すれば、もとの２次関数が得られるし、逆に元の式

　　　　 ax^2 + bx + c = a｛x^2 + (b/a)x + c/a｝

に代入すれば、あなたの変形された式が得られます。

お礼

分かりました。ご回答ありがとうございました。