数学の問題です

質問

x^3-3a^2x+2=0が異なる３つの実数解を持つためのaの値を求めよ。
という問題で、以下のように考えました。

式を微分して
f'(x)=３ｘ^2-3a^2=3(x+a)(x-a)

極大値はx=-a　より、　f(-a)=2a^3+2
極小値はx=a　より、　f(a)=-2a^3+2

異なる３つの実数解を持つためには、
極大値＞０　かつ　極小値＜０

極大値　２ａ^3+2>0　より、ａ＞－１
極小値 -2a^3+2<0より、a>1

以上より、a>1

と考えましたが、これであってるでしょうか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

間違っています。

x^3-3a^2x+2=0

においてaは正でも負でも実数解を持つための条件は同じです。

つまりa>1ならばa<-1でもよいはずです。

間違いの原因は

＞極大値はx=-a　より、　f(-a)=2a^3+2
＞極小値はx=a　より、　f(a)=-2a^3+2

と決め打ちしたことです。これはa>0を前提にしていることと同じです。

a<0の場合

極大値はx=a　より、　f(a)=-2a^3+2
極小値はx=-a　より、f(-a)=2a^3+2

について考察し結果をまとめれば正解に至ります。

お礼

a<0の場合を考えていなかったんですね。
ご指摘の分を踏まえて
再度、考えてみます。
ありがとうございました。