関数f(x)=xe^(-x)について

質問

関数f(x)=xe^(-x)について
(1)f(x)の極大値をとる点のx座標と極大値を求めよ。
という問題があるのですがどうやって極大値を求めるのか分かりません。

私は以下のようにして計算を行いました。
f(x)=xe^(-x)
f'(x)=e^(-x)×(1-x)=0より
x=1
極大値?=1/e

どうして極大値と分かるのでしょうか?
グラフは添付した図のようになると考えています。

(2)極限limf(x) [x→0]について
グラフが書ければ分かると思うのですが、グラフを使わず、計算で求めたいのですがどうすればいいでしょうか?

お手数おかけしますがよろしくお願いします。
また、この問題に限らず、関数の極大・極小を求めるやり方も教えていただけると助かります。

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回答No.11

Willyt

>二回微分すると2/(e^x)になる?ので正の極小値になりませんでしょうか?
>私の間違いだと思いますが、教えていただけると助かります。

二階微分すると　ｆ’’（ｘ）＝－e(－ｘ)(2 - x) ですよ。だから

f''(1) = -1 となり、極大値であることが証明されます。

回答No.10

bran111

#3,6です。
Mathematicaのグラフは縦軸の範囲が広すぎのためピークが見えてないのでしょう。
最大値は1/e=0.368なので縦軸の範囲を-1～1にとって計算しなおしてください。
きれいにピークが出ますから。

回答No.9

kanemoto_s

lim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞

自明に近く何が疑問なのかよく分からないですが、
x→-∞のとき
x→-∞、e^(-x)→∞
よって
lim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞

もしくは、
lim(x→-∞)[xe^(-x)]
＝lim(x→∞)[-xe^(x)]
＝-lim(x→∞)[xe^(x)]
＝-∞

以下が分かってないのでしょうか？
もうちょっと、教科書を読みましょう。
∞×∞→∞
-∞×∞→-∞
∞×-∞→-∞
-∞×-∞→∞

お礼

回答ありがとうございます。お世話になりました。これからもよろしくお願いします。

回答No.8

bran111

#3です。

⇒間違っています。x=1で最大となり、最大値は1/eです。

Mathematicaでも添付しているグラフになってしまいました...

⇒⇒⇒私も心配になって手元のプログラムでグラフを描いてみたら私の最初からの説明通りのグラフになりました。要は
x=1で最大、最大値1/e,
lim(x→∞)[xe^(-x)]＝0
lim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞

Mathematicaはかって使いづらいと感じたので使いませんが、あなたの使い方をcheckしてください。ミスがあります。

⇒ lim(x→∞)[xe^(-x)]＝0

教科書では-∞に発散する　となってしまいました..
教科書が間違っているということですよね?

⇒⇒⇒多分
lim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞
と見間違えているのではないですか。よく教科書を調べてください。
lim(x→∞)[xe^(-x)]＝0はもちろん正しい。

お礼

何度もありがとうございます。

補足

グラフなのですが私がMathematicaで作成したグラフはxの範囲を大きくとっているので違うグラフに見えるのかもしれません。

⇒⇒⇒多分
lim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞
と見間違えているのではないですか。よく教科書を調べてください。
lim(x→∞)[xe^(-x)]＝0はもちろん正しい。

教科書の問題の部分はlimf(x) [x→∞]なのですが、巻末にある答えにはlim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞となってしまいました。もっと早く気付くべきでした。申し訳ないです。

お手数おかけしますがこちらについても教えていただけると助かります。

回答No.7

kanemoto_s

グラフは合ってると思いますが、0から2を拡大しないと分かりづらいと思います。

(2)の補足、マクローリン展開を利用して高校数学でも解ける形にしたもの

e^x ≧ 1+x+x^2/2
x=0で1から3階微分まで左辺≧右辺が成り立ちxが増加してもこの関係は変わらないので成り立つ。

変形して、

1/e^-x ≦ 1/(1+x+x^2/2)
左辺は0より大きいので
0 < 1/e^-x ≦ 1/(1+x+x^2/2)
xでかけて、x>0で
0 < x/e^-x ≦ x/(1+x+x^2/2)
大きい方の無限大の極値は0なので、
limf(x) [x→∞]=0

Googleで検索するともっと分かりやすい答えが出てきますよ。

お礼

何度もありがとうございます。

補足

>グラフは合ってると思いますが、0から2を拡大しないと分かりづらいと思います。

参考にさせていただきます。

また、何度も申し訳ないですがもう一点ミスがありました。
教科書の問題の部分はlimf(x) [x→∞]なのですが、巻末にある答えにはlim(x→-∞)[xe^(-x)]＝-∞となってしまいました。

お手数おかけしますがこちらについても教えていただけると助かります。

回答No.6

bran111

No.3です。

>これに基づいて正しくグラフを書いてx=1で極大値＝最大値＝1/eをとることを確認してください。

添付しているグラフは間違っていますでしょうか？
教えていただけると助かります。

⇒間違っています。x=1で最大となり、最大値は1/eです。

>(2)極限limf(x) [x→0]について
limf(x) [x→0]=lim(x→0)[xe^(-x)]=0e^0=0*1=0
何がわからないのですか。

申し訳ありません。ｘ→∞の間違いです。
お手数おかけしますがよろしくお願いします　

⇒ lim(x→∞)[xe^(-x)]＝0

実戦践的な話をするとe^xはいかなる多項式より強いのだということです。
ロピタルを使って形式的な証明をすると

lim(x→∞)[xe^(-x)]= lim(x→∞)[x/e^x]= lim(x→∞)[1/e^x] (分子分母をxで微分)
＝0

e^xをテーラー展開してもいいでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。よろしければ補足にも答えていただけると助かります。

補足

⇒間違っています。x=1で最大となり、最大値は1/eです。

Mathematicaでも添付しているグラフになってしまいました...

⇒ lim(x→∞)[xe^(-x)]＝0

教科書では-∞に発散する　となってしまいました..
教科書が間違っているということですよね?

回答No.5

kanemoto_s

(2)の補足

ネットで「xe^-1 極値」で検索するとすぐ出てくる
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/syoumei/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/syoumei/kyokugen-frac(x)(e%5Ex).html

もっと、ネット検索がうまく使えるようにしてみてください。

お礼

回答ありがとうございました。よろしければ補足にも答えていただけると助かります。

補足

(2)なのですが
申し訳ありません。ｘ→∞の間違いです。
お手数おかけしますがよろしくお願いします

回答No.4

kanemoto_s

>関数の極大・極小を求めるやり方

f(x)の極大値、極小値の求め方は教科書に載っていますし、ネットで検索するといい記事が出てくるとは思いますが。

(1)f'(x)=0 のすべての解を求める。
(2)(1)の解の最小値より小さい値、(1)の解の最大値より大きい値、(1)の解でのf(x)の値、および、(1)の解の間の適当な値でのf(x)の値を求める
(3)増減表を作る
(4)(1)の解の左右で増減が反転していれば極値、左右の値が小さいと極大値、大きければ極小値

f'(x)は接線の式であり、極大値、極小値の時、必ず0になります。逆にf'(x)が0の時に極値になるとは限りません。例はf(x)=x^3のx=0の時。

上記の方法を取れば例外の時でも確実に極値を求めることができます。解以外の中間値では確実にf(x)は同じ方向に増減するためです。

(1)の増減表
x 0 1 2
f'(x) 1 0 -1/e^2
上昇 1/e 下降

(2)は自明
0近傍で
x→0
e(0)→1
なので、
limf(x) [x→0] → 0
何の問題があるかもう少し書いていただければ、皆さん解説できると思います。

回答No.3

bran111

増減表は習っていませんか。高２当たりで習ったはずです。
x=－∞　：　y=-∞
-∞<x<1 : y'>0 : y増加
x=1 : y'=0 : y=1/e
x>1 : y'<0 : y減少
x=∞　：　y=0

これに基づいて正しくグラフを書いてx=1で極大値＝最大値＝1/eをとることを確認してください。

(2)極限limf(x) [x→0]について
limf(x) [x→0]=lim(x→0)[xe^(-x)]=0e^0=0*1=0
何がわからないのですか。

お礼

回答ありがとうございました。よろしければ補足にも答えていただけると助かります。

補足

>これに基づいて正しくグラフを書いてx=1で極大値＝最大値＝1/eをとることを確認してください。

添付しているグラフは間違っていますでしょうか？
教えていただけると助かります。

>(2)極限limf(x) [x→0]について
limf(x) [x→0]=lim(x→0)[xe^(-x)]=0e^0=0*1=0
何がわからないのですか。

申し訳ありません。ｘ→∞の間違いです。
お手数おかけしますがよろしくお願いします

回答No.2

Willyt

関数を一回微分値がゼロというのはその点の接戦が水平であるということですから、それは極大かまたは極小、あるいは踊り場の３つの場合です。これを判定するには二回微分値を計算すればいいのです。それが正なら極小値、負なら極大値。ゼロなら踊り場です。

また、ｘ→０の値は簡単に計算できます。０×１＝０です。ｘ→∞の間違いじゃないですか？

お礼

回答ありがとうございました。よろしければ補足にも答えていただけると助かります。

補足

>関数を一回微分値がゼロというのはその点の接戦が水平であるということですから、それは極大かまたは極小、あるいは踊り場の３つの場合です。これを判定するには二回微分値を計算すればいいのです。それが正なら極小値、負なら極大値。ゼロなら踊り場です。

二回微分すると2/(e^x)になる?ので正の極小値になりませんでしょうか?
私の間違いだと思いますが、教えていただけると助かります。

>また、ｘ→０の値は簡単に計算できます。０×１＝０です。ｘ→∞の間違いじゃないですか？　

申し訳ありません。その通りです。