「f(x)=x^3-3ax+b(a,bは定数、a＞

質問

「f(x)=x^3-3ax+b(a,bは定数、a＞0)という
3次関数について
f(x)がx=αで極大、x=βで極小となるとき
f(α)-f(β)を求めよ。」という問題の解答に、
「f'(x)=0の解がα、βであり、
x^3の係数1は正であるからα＜β
よって、α=-√a, β=√a」
とあるのですが、
「x^3の係数1は正であるからα＜β」と言い切れるのは何故ですか？
理屈というか、そうなる理由がよくわからないので教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

※質問文でわかりづらいところがあれば出来る限り
対処しますので、指摘をお願いします。

回答No.3

noname#252159 · ベストアンサー

この問題に限定すれば、No.1さんとNo.2さんの説明で可と思います。
　しかし、n次関数のグラフの基本となる特徴を確認し、今後に役立ててもらいたいと思い回答いたします。

【奇関数 か 偶関数 か 】
　その式の最高次数 n が奇数のとき、奇関数といい1次関数が基本となります。
　変化の割合 a の正負によって右上がりか右下がりとなります。変数ｘが -∞ から +∞と変化するとき、a>0 なら -∞ から +∞ 、a<0 なら +∞ から -∞ へと変数 yは変化します。
　n=3 のときの3次関数も大まかにいって同様です。

　その式の最高次数 n が偶数のとき、偶関数といい2次関数の放物線が基本となります。
　比例定数 a>0 のとき、グラフは上に開いた形になり、a<0 のときは下に聞いた形になります。つまり、変数ｘが -∞ から +∞と変化するとき、a>0 なら +∞ からきて+∞ヘ戻り 、a<0 なら -∞ からきて -∞ へ戻るように変数 yは変化します。
　n=4 のときの4次関数も大まかにいって同様のグラフになります。

　上記の奇関数か偶関数かをふまえてから、f′=0 となる極大値、極小値を順番に考えていけばいいのです。勿論、f"=0 となる変曲点には気をつけましょうね。

お礼

こうなっているのですね、とてもすっきりしました！今後に役立てたいと思います。
丁寧に教えていただき、ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

添付の画像をごらんください。
3次の係数が正ですから、グラフは、左下から上がってきて
極大値を取り、その後、右下へ下がって極小値をとり、その後、
右上へ上がっていきます。
従って、極大値をとるxの値αの方が、極小値を取るxの値βよりも
小さいです。

お礼

確かに、この場合グラフが全体的に右上りですね！
納得できました。回答ありがとうこざいました。

回答No.1

f272

f(x)=x^3-3ax+bはx=-∞でf(x)=-∞，x=∞でf(x)=∞になることは分かりますか？
関数の値の増減だけを考えればx=-∞からxが大きくなるにつれてf(x)は(右上矢印)(右下矢印)(右上矢印)と変化します。
つまりf(x)が極大となるxの方がf(x)が極小となるxよりも小さいのです。

お礼

一緒にグラフの形を考えてみたら理解できました。回答ありがとうこざいました。