三次関数の導出

質問

次の問題について

ある三次関数について、極小値は(4,-53)、極大値の座標が(-2,55)であることが分かっています。
三次関数の式を求めよ

(元は違う問題なので、答えが求まらないかもしれません)

関数をf(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおき、
f'(x)=0より、f'(x) = 3ax^2+2bx+c = (x-2)(x-4) = 0とおきました。
条件から変曲点が(1,1)ですから、これも利用して計算しようとしているのですが、
a,b,c,dの値が一定に定まりません。

上記条件付けに何か間違っているところはあるでしょうか。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

f'(4) = 0, f'(-2) = 0, f''(1) = 0, f(1) = 1
だけで４式あるので、
a,b,c,d の連立一次方程式として不足はないはずですが…

f'(x) = (x-2)(x-4) は、ひとつ係数を置いて
f'(x) = 3a(x-2)(x-4) でないといけないけれど、
これが解かったのなら、後は積分して
f(x) - f(1) = ∫[1,x] 3a(x-2)(x-4) dx
でも済むのでは？
最後に、a を求めるために (4,-53) か (-2,55) かを代入する。

積分するとき f(x) - f(4) = ∫[4,x] 3a(x-2)(x-4) dx
として、後で (-2,55) を代入すれば、
変曲点の考察は要らないけれど、
(1,1) を使ったほうが、計算は楽かな。

回答No.2

178-tall

>ある三次関数について、極小値は(4, -53)、極大値の座標が(-2, 55)であることが分かっています。
>関数をf(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおき、　f'(x)=0 より、f'(x) = 3ax^2+2bx+c = (x-2)(x-4) = 0とおきました。

ここは、
　f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 3a(x+2)(x-4)
なのでしょうね。
　3a(x+2)(x-4) = 3ax^2 - 6ax -24a
なので、
　b = -3a/2,　c = -24a　　　…(*)

(*) を f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d へ代入して、極小・極大値の条件を使うと、
　f(4) = 64a - 24a - 96a + d = -53
　f(-2) = -8a - 6a + 48a + d = 55
なる連立方程式。

あとはお任せ。

回答No.1

DJ-Potato

極大値が左、極小値が右にある、3次関数なので、a>0ですね。
f(-2) = -8a + 4b - 2c + d = 55
f(4) = 64a + 16b + 4c + d = -53
f'(-2) = 12a - 4b + c = 0
f'(4) = 48a + 8b + c = 0

f(4)-f(-2) = 72a + 12b + 6c = -108
12a + 2b + c = -18

6b = -18
b = -3

f'4) - f'(-2) = 36a + 12b = 0
a = 1

f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 27

条件付は間違ってないみたいです。