xの3次方程式 x^3 -3ax^2 +3a^3 +3a -2a =

質問

xの3次方程式 x^3 -3ax^2 +3a^3 +3a -2a = 0 が異なる3つの実数解をもつためのaの値の範囲（ただし、a>0とする）の求める問題について。

f(x)= x^3 -3ax^2 +3a^3 +3a -2a　とおき。
f`(x)= 3x^2 -6ax
= 3x(-2a)

0<a より 0<2a

以上より、次の増減表を求めました。

x ：…｜ 0 ｜…｜ 2a ｜…
f`(x)：＋｜ 0 ｜－｜ 0 ｜＋
f(x) ：↑｜極大｜↓｜極小｜↑

※↑は斜め右上上がり、↓は斜め右下下がりを示す。

ここまで、求めたのですがこの後どうすればよいのかよく分りません。

解までの手順を分りやすく説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

微分の問題の基本なんだが。

(1)　相異なる3つの実数解を持つ条件　(極大値)*(極小値)＜0
(2)　2つの実数解(重解＋1つの実数解)をもつ条件　(極大値)*(極小値)＝0
(3)　1つの実数解(2つの虚数解＋1つの実数解)をもつ条件　　(極大値)*(極小値)＞0

何故このようになるかは、各々の場合のグラフを書いてみれば、すぐ分かるだろう。

お礼

基本ですか…しっかりと復習したいと思います。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#121794

やれやれ。しかもなぜ3a-2aとしているのかが分からんが(打ち間違えかな)
ここまで分かったんだから後はどうやって求めるものなのか少しは思考をつけてほしいもの。
数学ってそこなんだよね。No2で答えが出ているので
仮に同じ3次方程式でただ一つの解しか持たないa(>0)の範囲を求める場合を暇あれば解いてみてください。

お礼

打ち間違えですね。すみません。
ご回答ありがとうございます。

回答No.2

noname#157574

No.1さんの補足
3次方程式ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0(a≠0)が異なる3つの実数解をもつ条件
f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋dが極値をもち，かつ(極大値)×(極小値)＜0

お礼

補足説明ありがとうございます。

回答No.1

gf4m414

異なる3つの実数解を持つ

f(0)>0 かつ　f(2a)<0 となればいいでしょう。

そうすればf(x)はｘ軸と異なる3点で交わります。

お礼

お礼が遅くなってすみません。
回答ありがとうございました。