関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

質問

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

回答No.2

noname#75273 · ベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

お礼

ありがとうございます。

>上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。

というのがわかりません；
詳しく説明お願いします。すみません。

回答No.4

take_5

＞3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^　がヒントになっているのは承知の上で。。。。。。。。笑

f´(x)＝2x^2+2px＋pであるから、f´(x)＝0の2つの解がαとβであるから、解と係数の関係より、α＋β＝-p、αβ＝p　‥‥(1)
恒等式：f(x)＝（2x^2+2px＋p）*（x+p/2）＋（2p-p＾2）*x－2p＾2より、f(α)＝（0）*（α+p/2）＋（2p-p＾2）*α－2p＾2、f(β)＝（0）*（β+p/2）＋（2p-p＾2）*β－2p＾2であるから、f(α)＋f(β)＝（2p-p＾2）*（α＋β）－4p＾2＝p^3-6p^‥‥(2)

2x＝α＋β＝-p、2y＝f(α)＋f(β)＝p^3-6p^であるから、パラメーターであるpを消去すると、y＝-4x＾3-12x＾2.
但し、p＞2、p＜0であるから、x＜-1、x＞0の部分。

回答No.3

noname#75273

X = - p / 2
　　⇒　p = - 2X これを
「Y = 問2) / 2」の p に代入すれば、p が消去でき、X , Y だけの式になります。

また、問1) の「p < 0 , 2 < p」に p = - 2X を代入すれば、
　　-2 X < 0 , 2 < -2X
⇒　X > 0 , X < - 1

回答No.1

sanori

こんばんは。

中点のｘ座標は、２つのｘ座標の平均値。
中点のｙ座標は、２つのｙ座標の平均値。

ですから、
中点の座標は、
（　（α＋β）／２　，　（ｆ(α)＋ｆ(β)）／２　）

これを手がかりに解けると思いますが・・・

・・・という回答でよいのでしょうか？

お礼

ありがとうございました。