数学Bの問題です。

質問

曲線y=x2~xとx軸および直線x=nとで囲まれた領域(境界線上の点も含む)をD_n(n=1,2,3,・・・)おく。
(1)D_nの面積A_nを求めよ。
(2)D_nに含まれる格子点の個数B_nを求めよ。ここで格子点とは、x座標とy座標がともに整数である点を意味する。

手が出ませんでした(>_<)

解説よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
数学Bの問題ということなのですが、数学IIIの内容が入っていますね。
曲線を表す関数は y＝ x* 2^x（xかける 2の x乗）ですよね？

その数学IIIが入っているのは、(1)の面積の計算です。
まず、積分区間を決めないといけません。
式をみれば、0≦ x≦ nが積分区間になると推測できますね。
（必要であれば、増減表を書いて調べればよい）

すると、D_nは次のようになります。
D_n＝ ∫[0→ n] x* 2^x dx

部分積分を用いるのですが（まずこれが数III）、
2^xの積分を計算しなければなりません（これも数III）。
ヒントを書くと、2^x＝ e^tとおいて両辺対数をとると tが求まります。
結果、底を eとして書き換えることができます。
変数の置き換え（置換積分）も使わないといけません・・・。

(2)ですが、(1)とは関係なく求めることができます。
格子点はややこしそうな気がしますが、「分けて」考えればそんなに難しくありません。
・x＝ kのとき何個の格子点があるかを数えて、
・kについて 0から nまでの和をとる。

これだけです。
途中の計算では少し技がいりますが、そんなに難しくはないレベルです。

数学IIIの積分を習っていないのであれば、(2)だけを考えてみてもいいと思います。

お礼

遅れてすいませんでした。ありがとうございます。

回答No.2

mister_moonlight

もちろん、高校数学の範囲外だが、ピックの定理というものがある。
そのままでは大学入試では使えないが、検算用に活用したら良いだろう。
ＵＲＬを張っておくが、ピックの定理で検索すれば、他にもたくさん出てくる。

http://kurihara.sansu.org/theory/pic.html

お礼

遅れてすいませんでした。ありがとうございます。