格子点 数学

質問

3つの不等式
x≧0
y≧0
3x+y≦300
で決定される領域Dとして
領域D内に含まれるx=k(K=0,1,2,3,…100)上の格子点の個数をkで表せ。
答えは-3k＋301なんですけど
どうしてこうなるのか全くわかりません。。。
＋1されてる理由とかもイミがわからないです。
誰かわかりやすくおしえてください＞＜

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞x≧0
＞y≧0
＞3x+y≦300

つまり「x=kの時、y=-3x+300の直線と、X軸で挟まれた間に、何個の格子点があるか？」って事。

k=0、つまり、x=0と置いた時
y=-3×0+300
　=0+300
　=300
なので「x=0の直線上で、y=0～300の範囲の格子点の数」を数えれば良い。

x=0,y=0⇒1個目
x=0,y=1⇒2個目
x=0,y=2⇒3個目
x=0,y=3⇒4個目
x=0,y=4⇒5個目
(略)
x=0,y=298⇒299個目
x=0,y=299⇒300個目
x=0,y=300⇒301個目

って事で、301個ある。

k=0なのだから、-3k+301が成り立つ。

k=100、つまり、x=100と置いた時
y=-3×100+300
　=-300+300
　=0
なので「x=100の直線上で、y=0の範囲の格子点の数」を数えれば良い。

x=100,y=0⇒1個目

って事で、1個ある。

k=100なのだから、-3k+301が成り立つ。

＞＋1されてる理由とかもイミがわからないです。

複雑に考えてない？本当なら小学生でも解る筈。

小学校で「並木算」とか「植木算」っての習わなかった？

例えば…、

「ｎを０以上の整数とした時、０～ｎの範囲に、０を含む整数は何個あるか？」って問題の答えは？

「ｎ＝０なら０のところに１個ある」
「ｎ＝１なら０と１のところに２個ある」
「ｎ＝２なら０と１と２のところに３個ある」
のであるから
「ｎ＋１個」
だよね？

「０メートル地点に１本目、１メートル地点に２本目と、１メートル間隔に道路に街路樹を植えて並木を作ります。ｎメートルある道路に必要な木は何本ですか？」って問題の答えは？

「ｎ＝０なら０メートルのところ、全部で１本必要」
「ｎ＝１なら０と１メートルのところ、全部で２本必要」
「ｎ＝２なら０と１と２メートルのところ、全部で３本必要」
なのであるから
「ｎ＋１本必要」
だよね？

どっちも「＋１」されてるよね？

これは「並木算では、スタート地点の分を１個足さないとならない」から「＋１」している。

「格子点の数」も「並木の本数」と一緒で、スタート地点の分を１個足さないとならない。

＞誰かわかりやすくおしえてください＞＜

小学校の「算数」からやり直す必要があるでしょう。

回答No.3

konoshudai

たとえば，直線x=90上の格子点を数えてみましょう。問題の領域内の，この直線上の格子点のうち，
　一番上にあるのは（90，30）で，
　一番下にあるのは（90，0）です（ぜひ，図を書いて下さい）。
だから，数えるべきは，格子点
　（90，30）
　（90，29）
　（90，28）
　　　：
　（90，1）
　（90，0）
の個数。これは，30個…ではなく，31個ですよね。
これで＋1のイミがわかりますか。
あとは，90のかわりにｋとしてみましょう。

回答No.1

soixante

グラフは書いてみましたよね？
領域Ｄ　の範囲を目で見てみたらいいです。

条件で、、3x+ｙ≦300　とあるので、変形して　y≦ -3x+300
です。
x≧0、ｙ≧0　とあわせて考えれば、　
領域Ｄ　は、原点、(0,300)、(100,0)　の直角三角形みたいな領域です。

x=k ってどんな直線でしょう。
y軸に平行した縦の線ですよね。それが、ｋ＝0から100まで動いていくわけです。
ｋを動かして考えて見ましょう。

領域Ｄの斜辺と、ｘ＝ｋが交わる点の座標は？
（k,-3k+300) ですよね。

ｋ＝０の時考えて見ましょう。300個じゃなくて、301個ですよね。