格子点の問題です。（急ぎで）

質問

数IIIの問題です。できたら詳しい解説お願いします。

　a,mは自然数でaは定数とする。xyは平面上の点(a,m)を頂点とし、原点と点(2a,0)を通る
放物線を考える。この放物線とx軸で囲まれる領域の面積をSm,この領域の内部および
境界線上にある格子点の数をLmとする。このとき極限値lim(m→∞) Lm/Sm を求めよ。
ただしxy平面上の格子点とはその点のx座標とy座標がともに整数となる点のことである。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

点(0,0)(2a,0)(a,m)を通る放物線はy=(-m/a^2)x^2+(2m/a)x
Sm=∫(0→2a)((-m/a^2)x^2+(2m/a)x)dx
=((-m/3a^2)x^3+(m/a)x^2)(0→2a)
=(-m(8a^3)/3a^2)+4a^2m/a=-m8a/3+4ma=(-8+12)ma/3=4ma/3
x軸、y軸、直線x=2a、直線y=mで囲まれた面積S=2am、S内の
格子点の数(境界線上含まず)M=(m-1)(2a-1)
Mの内Smに含まれる数Lm1=(m-1)(2a-1)*Sm/S=(m-1)(2a-1)(4ma/3)/2am
=2(m-1)(2a-1)/3
x軸上及び直線y=m上でカウントすべき格子点の数=Lm2=2a+1+1=2(a+1)
よってLm=Lm1+Lm2=2(m-1)(2a-1)/3+2(a+1)=2(2am-m-2a+1)/3+6(a+1)/3
=(4am-2m-4a+2+6a+6)/3=(4am-2m+2a+8)/3=2m(2a-1)/3+2(a+4)/3
Lm/Sm=(3/4ma)2m(2a-1)/3+2(3/4ma)(a+4)/3=(2a-1)/2a+(a+4)/2ma
よってlim(m→∞) Lm/Sm=lim(m→∞){(2a-1)/2a+(a+4)/2ma}=(2a-1)/2a

お礼

ありがとうございました。助かります。