正則関数f:D→Cの虚部が

質問

正則関数f:D→Cの虚部がv(x,y)=2xy+2yのとき、f(z)を求めよ

初心者なので、できたら詳しく解説してください
お願いします

回答No.8

178-tall

>z^2 +2z +C となりました！
>これが正答ということですか？

おそらく。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.7

alice_44

x-yi を w と置くと、
x = Re z = (z + w)/2,
y = Im z = (z - w)/(2i) と表せる。
(この w を「x の共役複素数」という)

f(z) を x,y で表した式ヘ、上の２式を代入すると、
w はウマく消えて、f(z) が z の式で表せる。

この「w がウマく消える」という条件を
偏微分を使って表したのが、コーシー・リーマンの条件
だという訳。

お礼

分かりました！
ありがとうございました

回答No.6

178-tall

>f(z)=(x^2 + 2x - y^2 + Ｃ) + i(2xy+2y)と分かりましたが、これをzだけが変数にするということですか？

左様。ヒント。
　(x^2 + i2xy - y^2) + 2(x + iy) + C
と整列させてみると？

補足

(x^2 + i2xy - y^2) + 2(x + iy) + C
=(x + iy)^2 + 2(x + iy) + C
=z^2 +2z +C
となりました！
これが正答ということですか？

回答No.5

178-tall

>z表示とは何ですか？

{x, y, i} で出した関数を、z (= x +iy) の関数に書き直すこと。
それを求められているのだと思いますが。

補足

f(z)=(x^2 + 2x - y^2 + Ｃ) + i(2xy+2y)と分かりましたが、これをzだけが変数にするということですか？

回答No.4

178-tall

> u(x,y) = x^2+2x+y^2+Ｃだから f(z)=x^2+2x+y^2+Ｃ+i(2xy+2y) で良いのでしょうか？

いい線。

ただし、Cauchy-Riemann の正負号に注意！
　f(z) = x^2 + 2x - y^2 + i(2xy+2y) + C
らしい。

これなら、z 表示も簡単。

補足

すみません
∂v/∂x = 2yで
∂u/∂y = -∂v/∂xなので
∂u/∂y = -2yでした

初等的ですみません、z表示とは何ですか？

回答No.3

misumiss

自分で解決できないのは, 勉強していないからでしょう。
∂u/∂y = 2y, なんていってることからも, ふだんの計算練習不足が感じられます。
f(z) は z の関数なのに, x や y を用いた式で表して正解って考えているのも問題外。

補足

すみません、問題文に書いた通り初心者なので、知識も経験もありません
また∂u/∂y = 2yでなく∂u/∂y = -2yでした

経験するために、知識を教えてください

回答No.2

alice_44

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0#.E3.82.B3.E3.83.BC.E3.82.B7.E3.83.BC.E3.83.BB.E3.83.AA.E3.83.BC.E3.83.9E.E3.83.B3.E3.81.AE.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F
f の実部を u とでも置いて、u が満たす微分方程式を導き、積分せよ。

補足

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
を使うのでしょうか？
これによれば
∂u/∂x = 2x+2
∂u/∂y = 2y

たぶんu(x,y) = x^2+2x+y^2+Ｃだから
f(z)=x^2+2x+y^2+Ｃ+i(2xy+2y)
で良いのでしょうか？