微分可能と正則

質問

ω＝ｆ(ｚ)がZ=a∈Dで微分可能である。
ω＝ｆ(ｚ)がZ＝aで正則である。
この２つの違いを明確に教えてください。
よくわからなくて困っております。

もう一つあります。
ω＝ｆ(ｚ)＝u(x,y)+iv(x,y)がD上正則であることの必要条件をコーシー・リーマンの関係式を用いて表わすにはどうしたらいいのですか？

回答No.4

uyama33

昔のことなので自信はありませんが、

ω＝ｆ(ｚ)がZ＝aで正則である。

ですが、

a　を含むある（開）近傍 U が存在して
U の中の任意の点で、微分可能である。

という意味だったかと思います。
確認できたら後で補足します。

回答No.3

KENZOU

＞つまりω＝ｆ（ｚ）がｚ＝a∈Dで微分可能であるは
一言で言うとなんですか？

関数ωはz＝aで連続である。

＞ｚ＝aで正則であることは、一言で言うとなんですか？

ｚ＝aで微分可能である。

お礼

ありがとうございました。
納得できました。

回答No.2

KENZOU

＞いまいち分からないので
え～っと、＃１でご紹介した参考ＵＲＬの「正則関数」を横において参照しながら以下読んでください。複素平面は縦軸が虚軸（で横軸が実軸で構成されます。複素数ｚはこの平面上の1点ですね。具体的には
　ｚ＝ｘ＋iｙ　　(1)
と書かれます。従ってｚ∈Ｄで定義された複素関数ｆ（ｚ）のｚでの微分は参考URLに書かれているとおり
　df/dz＝lim[△ｚ→０]f(ｚ＋△ｚ)／△ｚ　　(2)　
で定義されています。実関数の微分は
　dg/dx＝lim[△ｘ→０]f(ｘ＋△ｘ)／△ｘ　　(3)
ですから、複素関数の微分計算技術は実関数と同じになります（例えばf(ｚ)=ｚ^2、dｆ/dｚ=2ｚ等）。
実関数の微分で△ｘ→０は点ｘを中心に右から迫る場合と左から迫る場合の2通りの極限を意味していますね。

　　　－→－－ｘ－－←－
　　　　｜△ｘ　｜△ｘ　｜

同様に、複素関数の場合、△ｚ＝△ｘ＋ｉ△ｙですから△ｚ→０は△ｘ→０と△ｙ→０を意味します。参考ＵＲＬに書かれている「実軸方向および虚軸方向に沿っての微分」の意味はこれで分かると思います。そこでＵＲＬをさらに読み進めると、コーシー・リーマンの関係式に行き着きますが、これは”点ｚで微分可能ということは実軸方向および虚軸方向に沿っての微分が相等しなければならない”ということからでてくる結果なのですね。
ＵＲＬからの引用　『コーシー・リーマンの関係式が成り立つとき、すなわち微分可能であるとき、その関数は「正則である」といいます。また、定義域中の任意の点でコーシー・リーマンの関係式が成り立つ関数のことを「正則関数」といいます。 』ということでいかがですか。

参考URL：

http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study/analysis/regular.html

お礼

返信、どうもありがとうございます。
つまりω＝ｆ（ｚ）がｚ＝a∈Dで微分可能であるは
一言で言うとなんですか？

ｚ＝aで正則であることは、一言で言うとなんですか？

回答No.1

KENZOU

以下のサイトが参考になると思います。

http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/
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お礼

返信、ありがとうございます。
いまいち分からないので、まとめていただくとうれしいのですが・・・