複素関数の正則性。

質問

誤って、回答締め切りをしてしまったため、再度立てさせていただきます。すみません。

領域 D が実軸に関して対称であると仮定する。w = f(z) が正則ならば，w =¯f(¯z). も正則であることを示せ。

という問題が分かりません。

最終的に、「コーシー・リーマンの関係式を満たすので正則」と結論づけたいです。
z=x+iy　として、f(x-iy)とします。
fが具体的に与えられていないため、どのように∂u/∂xや∂v/∂yなどの計算を行えば良いのかが分かりません。

どうすれば良いのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

BOMBARDMENT · ベストアンサー

fが具体的には与えられていませんが、fは一般にz=x+iyとしたとき、

　f=U(x,y)+iV(x,y) (1)

なる、実部と虚部からなる関数であると書けます。これと共役な関数f*は、

　f*(z)=U(x,y)-iV(x,y) (2)

であり、設問では変数も共役なので、

　f*(z*)=U(x,-y)-iV(x,-y)=U*+V* (3)

となります。
コーシー・リーマンの定理によれば、関数fが領域Dで正則であることは、uとvがDで全微分可能であり、コーシー・リーマンの方程式

　Ux=Vy, Uy=-Vx

を満たすこととあります。ところで、(3)の実部をx,yでそれぞれ偏微分すると、

　U*x=Ux=Vy
　U*y=-Uy(=-Vx)

となります。ここに、(3)の虚部に注目し、これをxで偏微分すると、

　V*x=-Vx

となり、

　U*y=-V*x

が導出されます。

ここから、f*(z*)が、コーシー・リーマンの方程式を満たし、正則であることが示せます。

というのでどうでしょうか？

お礼

とてもわかりやすかったです。
助かりました、ありがとうございました。