F=gradV、Fが与えられているときVはどう求める。

質問

タイトルのとおりなのですが

F = gradV　(Fはベクトル関数、Vはスカラー関数)

Fが与えられているとき、Vを求めるにはどのような計算をすればよいのでしょうか。
（参考書に載っている問題なのですが解説はおろか解答もないのです・・・）

(1)F=(1,1,1)
(2)F=(x,y,z)
(3)F=(y+z,z+x,x+y)

(1)(2)などはメノコで見つかりはするのですが、確実に求められる方法が
知りたいです。どうかご教授ください。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

各成分をそれぞれ順番に積分してけばいいのでは。
積分定数が何の関数になるかに気をつけながら。

Fのx成分をFxとか、で表すことにすれば。

(3)だったら、
まず
Fx = y+z = ∂V/∂x
をxで積分して、
V = x(y+z) + C1(y,z)

Fy = ∂V/∂y = z + x = x + ∂C1(y,z)/∂y
より、
∂C1(y,z)/∂y = z
をyで積分して、
C1(y,z) = zy + C2(z)
したがって、
V = x(y+z) + zy + C2(z)

Fz = ∂V/∂z = x + y = x + y + ∂C2(z)/∂y
より、
∂C2(z)/∂y
をzで積分して
C2(z) = C
したがって、
V = x(y+z) + zy + C = xy + yz + zy + C

お礼

わかりやすかったです。ありがとうございました＾＾

回答No.1

endlessriver

保存場rot F=0なら、線績分V=∫FdsでＯＫです。積分路は(0,0,0)→(x,0,0)→(x,y,0)→(x,y,z)とでも取れば良いでしょう。

お礼

どうもです。明日ベクトル解析のテストなので頑張りますです。