全複素平面上で正則な関数f(z)は

質問

全複素平面上で正則な関数f(z)は

lim_[r→0] ∫_Cr f(z) dz = 0

を満たすことを示せ。ただし、Cr = { r*exp(iθ) | 0≦θ≦π } （r>0の上半円周）

考えた証明の方針：

単純閉曲線C:= Cr + Cr' (ただし、Cr': = { x | -r≦θ≦r } )と定め、
まず、コーシーの積分公式を証明。すなわち、∫_C f(z) dz = 0
次に、∫_C f(z) dz = 0 に r→0として題意を示すと思いました。

しかし、∫_-r^r f(z)dz =0になることが言えなくて、つまづいています…。
どなたか知恵を貸してください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

いいえ、
∫_Cr f(z) dz = ∫_0^π f(g(θ))・g'(θ) dθ
でしょうね。

∫_Cr f(z) dz = ∫_0^π f(g(θ))・ri exp(iθ) dθ
　　　　　　　= ∫_0^π {Re f(g(θ)) + i Im f(g(θ))}・ri{cosθ + i sinθ} dθ
　　　　　　　= -r・∫_0^π {Re f(g(θ)) sinθ + Im f(g(θ)) cosθ} dθ
　　　　　　　 +ir・∫_0^π {Re f(g(θ)) cosθ - Im f(g(θ)) sinθ} dθ

f が Cr 上で有界、sin, cos が 0～π で有界なことから、
Re f(g(θ)) sinθ + Im f(g(θ)) cosθ と
Re f(g(θ)) cosθ - Im f(g(θ)) sinθ は有界。
よって、最右辺の２個の積分も有界なので、
r → 0 のとき ∫_Cr f(z) dz → 0+0 です。

r が括り出せるから、平均値定理も不要だったかな。

お礼

なるほど。
具体的に書き下して下さって助かりました。
どうもありがとうございました！

回答No.1

alice_44

コーシーの積分定理は、不要でしょう。
Cr を θ でバラメータ表示したものを g(θ) と置き、
f(g(θ)) の実部と虚部にそれぞれ平均値定理を使うと、
問題の積分は、Cr 上のある点での f(z) の値 × Cr の弧長
であることが判ります。
f( ) が正則であれば、f(z) は有界ですから、
r→0 の極限で弧長が →0 になると 積分も →0 に収束します。

補足

回答ありがとうございます！

なるほど。
そのようなやり方で示すのですね！

１つ補足で質問をさせてもらいたいです。

∫_Cr f(z) dz = ∫_0^2π f(g(z)) g'(θ)dθ
ということで合っていますか？

ただ、「f(g(θ)) の実部と虚部にそれぞれ平均値定理を使うと」
の部分がまだ分かりません。f(g(θ))はどんな形に書き下せるのでしょうか？

お手数ですがお願いします。