次の複素関数の解き方,解答を教えてください

質問

次の複素関数の解き方,解答を教えてください

正則関数f(z)の実部をu = u(x, y),虚部をv = v(x, y)とおくとき(2u － v) + i(u + 2v)
が正則かどうかコーシー・リーマンの方程式を利用して調べよ。

お願いします。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

まず仮定より、
∂u/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=-∂v/∂x,..(*)
次に、2u-v=U, u+2v=V とおくと、
∂U/∂x=2*∂u/∂x - ∂v/∂x,
∂U/∂y=2*∂u/∂y - ∂v/∂y, ここで(*)を適用すると、
∂U/∂y=2*(-∂v/∂x) - ∂u/∂x.
Vについても同様の計算で、
∂V/∂x=∂u/∂x +2*∂v/∂x,
∂V/∂y=∂u/∂y + 2*∂v/∂y=-∂v/∂x +2*∂u/∂x,
すなわち、∂U/∂x=∂V/∂y, ∂U/∂y= -∂V/∂x,
が成り立っています。

お礼

回答ありがとうございました。助かります。