円 直線 切断

質問

円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある
lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値はいくつか

切り取らない状態のL=0、あるいは(切り取らないから切り取られる線分の長さに当てはまらないとすれば)接した状態のL=0.00...1だと考えたのですが、答えは4となっています
なぜ接したり交点なしではダメなのかと、どう計算すれば4になるかを教えてください

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

円C : x^2－4x+y^2－8y+11=0
x^2－4x+4－4+y^2－8y+16－16+11=0
(x－2)^2+(y－4)^2=9
中心(2, 4)、半径3

直線 l : (k+2)x－(2k－1)y+9k－12=0
kについて整理してみる。
xk+2x－2yk+y+9k－12=0
(x－2y+9)k+2x+y－12=0
この式が任意のkについて成り立つとすると、
x－2y+9=0 …… (1)
2x+y－12=0 …… (2)
(1)+(2)×2より、5x－15=0
x=3
(1)または(2)に代入して、y=6
よって、直線 l は、kの値に関係なく、点(3, 6)を通る。
点(3, 6)は、x^2－4x+y^2－8y+11<0を満たすから、
円Cの内部にある。
よって、円Cと直線 l とは、必ず交差する。

まあ、後は、円と、定点を通る直線の絵を描いて、ごにょごにょしてみてください。

補足

必ず交差するんですね
分かりました

点(3, 6)は、x^2－4x+y^2－8y+11<0を満たすから、円Cの内部にある。

となるのはなぜですか？

回答No.4

ferien

＞円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある
＞lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値はいくつか
円Ｃと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとします。
直線ｌの式から、
（２ｘ＋ｙ－１２）＋ｋ（ｘ－２ｙ＋９）＝０とおけて、
２ｘ＋ｙ－１２＝０，ｘ－２ｙ＋９＝０より、連立で解くと、ｘ＝３，ｙ＝６より、
直線ｌは、定点（３，６）を通る。

＞切り取らない状態のL=0、あるいは(切り取らないから切り取られる線分の長さに当てはまらないと
＞すれば)接した状態のL=0.00...1だと考えたのですが、答えは4となっています
＞なぜ接したり交点なしではダメなのかと、どう計算すれば4になるか
円の中心をＯ，定点をＤとします。
定点Ｄ（３，６）を通る直線をいろいろ描いてみると、必ず円Ｃと２点で交わることと、
どういう場合に切り取られる線分の長さが最小になるかが分かります。
線分の長さＡＢが最小になるのは、△ＯＡＢの高さが、ＯＤの長さと等しいとき、
Ｏ（２，４）とＤ（３，６）の距離となるときです。
このとき、△ＯＡＢは、二等辺三角形だから、ＡＤ＝ＢＤ，ＯＤ⊥ＡＢで、
△ＯＡＤは、直角三角形だから、ＡＤ^2＝３^2－ＯＤ^2
ＯＤ^2＝（３－２）^2＋（６－４）^2＝５
これから、ＡＤ^2＝９－５＝４より、ＡＤ＝２から、ＡＢ＝２ＡＤ＝４
よって、切り取られる線分の長さLの最小値は４

計算だけでは分からないことなので、図を描いてみて下さい。

お礼

図を描いてみます
ありがとうございました

回答No.3

asuncion

まあ、教科書か参考書か何かを見れば、
円の内部（～ < r^2）
円周上（～ = r^2）
円の外部（～ > r^2）
のそれぞれが満たす式についての説明があると思います。場合によっては証明付きで。

円の内部や外部にある点とその円の中心との距離が、
ちょうど円周上にある場合と比べて大きいのか小さいのかを
考えれば、ほぼ自明なことだとは思います。

お礼

分かりました 確認してみます
ありがとうございました

回答No.2

asuncion

＞点(3, 6)は、x^2－4x+y^2－8y+11<0を満たすから、円Cの内部にある。
＞となるのはなぜですか？

う～ん。困りましたね。円に関する基本なんですけれど。

円C上の点は、x^2－4x+y^2－8y+11=0を満たしますね。
次に、円Cの中心(2, 4)のことを考えてみます。
このとき、点(2, 4)はx^2－4x+y^2－8y+11<0を満たしますので、
円Cの内部にあります。中心だから円の内部にあるのは当たり前ですね。
同様に考えて、x^2－4x+y^2－8y+11<0を満たす点(x, y)は、
すべて円Cの内部にあります。直線 l 必ず通る点(3, 6)もそうです。

補足

申し訳ありません、そんな基本があったことすら記憶にありませんでした

そのような性質だと割りきれればよいのですが、私はすっきりできないので質問します
中心を代入すると負になっても、必要条件しか満たせてないですよね
なぜ円の内側の点を代入すると負になるのでしょうか？検索ワードだけでも構いませんのでよければ教えてください