円を直線で切り取った線分の長さの最小について

質問

どうしても納得でき無ないのでお聞かせください。

問）　円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

１）lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
２）lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答）
１）l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP（３，６）

２）円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定）が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4

よって、PQ垂直ｌとなるｋが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4

疑問）
とあるのですが、
勝手にd≦PQとし、PQ垂直ｌのときd=PQでｄの最大としてしまう理由が分かりません。
垂直でd=PQの理屈は分かるのですが、勝手にd≦PQとし「PQの時にdが最大だ～」としてしまってよいのでしょうか？
例えば、任意にRを円の内側のl上に設定すれば、PQより大となるd≦RQが存在する気がしてなりません。

回答No.2

jung_taro · ベストアンサー

回答申し上げます。

確かに感覚的には勝手にd≦PQとしたくなっちゃう方もいれば、
それに違和感を覚える方もいらっしゃるのかと思います。

点Ｑから直線ｌに垂線を引いて交わった点をＰ’とします。
このときＱＰ’＝ｄ になりますよね。（点と直線の距離の定義）
さて、ＰＰ’＝ｄ’としてみると
三角形ＱＰＰ’は直角三角形ですから、
(ＱＰ’)^2＋(ＰＰ’)^2＝(ＱＰ)^2 となります。
つまり
ｄ^2＋ｄ’^2＝(ＱＰ)^2　（＝一定）
ｄもｄ’も距離ですからｄ≧０、ｄ’≧０
よって、
ｄ^2≦ｄ^2＋ｄ’^2＝(ＱＰ)^2　ですから
ｄ^2≦(ＱＰ)^2
⇔
ｄ≦ＱＰ
となります。

では、ｄ＝ＱＰとなるときは、ｄ’＝０ のときですから、
つまりＰＰ’＝０ のときです。
点Ｐは固定されていますから、ＰＰ’＝０ というのは、
点Ｐ’＝点Ｐのときとわかります。
これはＱＰ⊥直線ｌ のときになりますよね。

以上が理由になります。
これを図形で考えると上記を省略しても良いと考える人がいらっしゃるということでしょう。
しかし、図がないとここまで書かないとちょっと説明不足な感がありますよね。

参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
数式上で説明頂けて、少しだけ見えてきたような気がします。

回答No.6

Quattro99

垂直のときが最短なのは、Qを中心としてlに接する円を考えればわかります。
接点とQとの距離がすなわち最短距離となります。それより短いとlに届きませんから。
そして、円の直径と接線は直行しますから、dが最短のときPQとlは直行します。接点以外で直交しないのは明らかですから（Q、接点、接点以外の点の3点で作る三角形を考えると、接点のところが直角ですから、接点以外の点のところは必ず鋭角になります）、直交するときが最短と言えます。

回答No.5

take_5

余り親切な回答ではないね。。。。。。笑

点（2、4）と直線：(k+2)x-(2k-1)y+9k-12＝0(kは定数)との距離が最大なら、lがCによって切り取られる線分の長さLは最小となる。
点（2、4）と直線：(k+2)x-(2k-1)y+9k-12＝0(kは定数)との距離aは、点と直線との距離の公式により、a＝｜3k-4｜/√（5k＾2+5）。
両辺＞0より平方すると、（9-5a＾2）k＾2-24k＋（16-5a＾2）＝0.
9-5a＾2＝0の時は、k＝-9/24.
9-5a＾2≠0の時は、2次方程式から判別式≧0、つまり、0≦a≦√5.
以上から、aの最大値は√5（この時、k＝-3/4）
このとき、ピタゴラスの定理より、求める線分の長さの最小値は2*2＝4.

お礼

わあ・・・
こちらの回答だと、理屈が理解できました！
ＰＱの距離の式を求めて、その最大を求めるのですね。
すごくわかりやすいです。

ワタシの参考書の回答がなぜこんな方法で解いているのか分からないです・・・

ありがとうございます。

回答No.4

Quattro99

#3です。
Pはl上の点なので、QからPまでの距離PQはlとQの最短距離dと同じか遠いと考えた方が簡単だったかも知れません。

回答No.3

Quattro99

Pはl上の点ですから、PQはlとQの距離（最短距離）dより短くなることはあり得ません。もし、あり得たら、dは最短ではないことになってしまいますから。なので、d≦PQです。従って、d=PQになり得ることが出来たら、その時dは最大です。

お礼

ありがとうございます。

ＰＱがｄより短くなることはないのは理解できるのですが・・・
だからと言って、ＰＱ垂直lのときｄが最大と言っていいのでしょうか・・・？

回答No.1

koko_u_

>勝手にd≦PQとし、PQ垂直ｌのときd=PQでｄの最大としてしまう理由が分かりません。
図を書けばわかる。何が固定されていて、何か可変なのかを整理しましょう。

お礼

ありがとうございます。
何が固定されていて→点Ｐが固定されていて
何が可変なのかを整理しましょう。→点Ｐが固定以外の部分で、直線が動く
の理解であっているでしょうか？