円と直線について

質問

こんにちは。
高2のflankです。
昨日は、自分の回答を書かずに問題だけ書くという、
マナー違反をして申し訳ございませんでした。
昨日質問した問題でまだわからない箇所があるので
再度質問させていただきます。

問.円C:(x-2)^2+y^2=2、直線l:y=kx、(kは実数の定数)について
(1).円Cと直線lが異なる2点A,Bと交わるとき、kのとりうる値の範囲を
　 求めよ。
(2).(1)のとき、線分ABの中点のPが描く軌跡を求めよ。

という問題です。
(1)は解けて、-1<k<1という答えに辿りつきました。
それで、質問したいのは(2)についてなのですが、

答.(k^2+1)x^2-4x+2=0
A(x1,kx1),B(x2,kx2)とすると、
　 中点は((x1+x2)/2,(kx1+kx2)/2)とってなって、
x=(x1+x2)/2 y=(kx1+kx2)/2
=kx‥‥(1)
ここで解と係数の関係より
　 x1+x2=4/(k^2+1)
よってx=4/(2{k^2+1})→x(k^2+1)=2
　これを(1)に代入
　　x(y^2/x^2+1)=2　
　　これを計算して(x-1)^2+y^2=1

と、軌跡の式までは求められたのですが、
その軌跡の範囲がどこからどこまでなのかがわかりません。
前回質問したときには(1)に(1)の-1<k<1という結果を適用して
軌跡の範囲が出てくると教えていただいたのですが、
いまいち良くわからなくて・・・。
その範囲の求め方を詳しく教えてください。

返信よろしくおねがいします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

中点の座標(x,y)と
(k^2+1)x^2-4x+2=0の二実根x1,x2との関係は
＞ よってx=4/(2{k^2+1})→x(k^2+1)=2
ですから、kについて解けば
k^2=(2/x)-1
この式に２交点条件-1＜k＜１つまりk^2＜１を適用すれば
(2/x)-1＜１
これを解いて
x＞1
が出てきます。

yの範囲は
(x-1)^2+y^2=1
でx＞1でのyの取りうる範囲は
-1＜y＜1
が出てきます。

回答No.4

fukuda-h

問題は「奇跡の限界」ですね　
普通は奇跡の定義域ｘに注目してk条件を利用して、ｘの範囲を出せばいいのですがこの問題はx(k^2+1)=2となって計算しにくいのが難点です.
こんなときは-1<k<1という条件を直接使えるように
思い切ってK＝、あるいはK＾2＝、の式を作ってみましょう。
K＝、の式はうまくいかないのでK＾2＝(2/ｘ）-1
x(k^2+1)=2ですからｘは０ではないからｘで割れます

-1＜K<1から、0＜ｋ＾2＜1、これに代入して0＜[(2/ｘ）-1]<1・・・（1）
ここでx(k^2+1)=2からｘ＞0より
（１）の辺々に１を加えてｘ>0をかけてx<2<2x
よって1＜ｘ＜2
なかなか大変ですね

回答No.2

kkkk2222

ーーー
本論の前に

ＳＭＡＬＬ（ｘ、ｙ）とＬＡＲＧＥ（Ｘ，Ｙ）は、
厳密に区別が必要です。

直線が、２点で交わる条件、
＞＞－１＜ｋ＜１　　　　　　　　　　　　　　（＃０）
＞＞（（ｋ＾２）＋１）（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０　（＃１）
（ｘ^２）－［４／（（ｋ^２）+1））］ｘ＋［２／（（ｋ^２）+1））］＝０　（＃２）

＞＞中点Ｐ（Ｘ、Ｙ）は（(x1+x2)/2、・・・）　　
２Ｘ＝(x1+x2)
Ｙ＝ｋＸ
（ｘ^２）－(x1+x2)ｘ＋［２／（（ｋ^２）+1））］＝０　（＃３）
（ｘ^２）－(２Ｘ)ｘ＋［２／（（ｋ^２）+1））］＝０　（＃４）
（＃２）、（＃４）で
［４／（（ｋ^２）+1））］＝２Ｘ
［２／（（ｋ^２）+1））］＝Ｘ
２＝Ｘ（（ｋ^２）+1））
此れを、Ｙ＝ｋＸに代入はできません。
ｋを消去したいのだから、（ｋ＝０、ｋ≠０に分けて）
（ｋ＝０、ｋ≠０）も厳密には説明を要するのですが割愛して、
ｋ＝Ｙ／Ｘを、２＝Ｘ（（ｋ^２）+1））し、さらに変形して、
（（Ｘ－１）＾２）＋（Ｙ＾２）＝１
此のままでも良いのですが、
＜約束により＞
ＬＡＲＧＥ（Ｘ，Ｙ）を、ＳＭＡＬＬ（ｘ、ｙ）の表記に直して、
（（ｘ－１）＾２）＋（ｙ＾２）＝１
ーーー
本論

軌跡の限界に関して、
（Ａ）質問
（Ｂ）重い質問

（Ａ）質問の場合
二つの円の部分だけ描きます。　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　○　　　　　　　
　　　　　　　　　　○　　　　　○　　　
　　　　　　●・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　●　　　　　◎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　●　　○　　　　　　◎　　　　　　
●　　○　　　　　　　　◎　

０　　　　　　１　　　　　　２　
◎は求める軌跡、●は不要部分。
＜・＞が軌跡の限界です。
＜・＞のｘ座標　１　をだすのであれば、
最初に、
円C:(x-2)^2+y^2=2、直線l:y=kx　が、
異なる２点Aで交わる条件、
－１＜ｋ＜１　より、
ｋ＝ー１　と　ｋ＝１　のとき接するので、
ｋ＝ー１　と　ｋ＝１　を使用して、
（(x-2)^2）+（y^2）=2　と　ｙ＝１＊ｘ　または　ｙ＝（－１）ｘ
を連立させて、
（ｘ＾２）ー４ｘ＋４＋（ｘ＾２）＝２
２（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０
（ｘ＾２）ー２ｘ＋１＝０
（ｘ－１）＾２＝０
ｘ＝１　（重解）とでます。

これは、（（ｋ＾２）＋１）（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０　（＃１）
において、ｋ＝ー１、１とおいた、事になります。
＝＝＝
（Ｂ）重い質問

●が何を意味するのか、ならば、
－１＜ｋ＜１　の条件を、はずしたことになり、
（（ｋ＾２）＋１）（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０　（＃１）
において、ｘは虚数解となり、
二つの虚数解ｘ１、ｘ２は、
（ｘ１＋ｘ２）では＜実数となり＞
二つの虚数解ｘ１、ｘ２に対応しているのが、●だと思います。

回答No.1

mirage70

x(k^2+1)=2よりx=2/(k^2+1)と置いて、
｜k｜<1より1>k^2>=0ですので、1<x<=2となります。
中点は、(1,1),(2,0),(1,-1)を通る円周上で、(1,1),(1,-1)の点を除く。
グラフを書けば、
円Cは(2,0)を中心とし、半径√2
直線は原点を通りますので、接点、円の中心を通ることを考えると、
xの範囲は自ずと求まりますし、中点はx軸に関して対象となります。