円 切断 最小値

質問

円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある
lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値はいくつか

線分の長さＡＢが最小になるのは、△ＯＡＢの高さが、ＯＤの長さと等しいときらしいのですが、なぜでしょうか？
教えてください

回答No.2

ferien · ベストアンサー

昨日、以下のように回答した者です。

＞線分の長さＡＢが最小になるのは、△ＯＡＢの高さが、ＯＤの長さと等しいときらしいのですが、
＞なぜでしょうか？
円の性質から言えることです。
△ＯＡＢの高さ（ＯからＡＢへ引いた垂線）が長くなるほど、弦ＡＢは短くなり、
垂線が短くなるほど、ＡＢは長くなるという性質があります。
定点Ｄを通る直線ＡＢでは、
ＯＤを高さにとったとき、垂線の長さが最大になるので、弦ＡＢの長さが最小になります。
垂線とＡＢの交点がＤ以外の位置にあるときは、垂線の長さはＯＤの長さより短くなっているはずです。

どうでしょうか？図で確認してみて下さい。

お礼

ようやく理解できました
ありがとうございました

回答No.3

mister_moonlight

正直にやってみよう。少し、計算が煩雑になるが。

円は　(x-2)＾2＋(y-4)＾2＝9から　Ｍ(2、4)とし　円と直線との交点をＡ、Ｂ　とする。
この直線に　点Ｍから垂線を下し　その足をＨとする。
△ＭＢＨと△ＭＡＨは2辺が等しい直角三角形だから　ＡＨ＝ＢＨ　よりＡＢ＝2ＡＨ。
ピタゴラスの定理から　ＡＨ＾2＝9-ＭＨ＾2.
ＭＨの長さは点Ｍと直線との距離だから、点(2、4)と直線との距離の公式から　ＭＨ＾2＝(3k-4)＾2/(5k＾2+5)　
よって、ＡＨ＾2＝9-ＭＨ＾2＝(36k＾2+24k+29)/(5k＾2+5)だから　m＝(36k＾2+24k+29)/(5k＾2+5)として分母を払うと　(36-5m)k＾2＋24k＋(29-5m)＝0。
・36-5m＝0の時　これを満たすのは　k＝7/24だから　解の一部。
・36-5m≠0の時　判別式≧0だから　計算すると　4≦m≦9　　
2つの場合を考えると2≦ＡＨ。この時　ＡＢ＝2ＡＨだから　最小値は　4.

お礼

詳しくありがとうございました

回答No.1

asuncion

点Dがどういう点なのかがわかりませんので、
何ともお答えできないです。

補足

申し訳ない、忘れてました
D(3、6)でlがkによらず通る定点です