2直線の交点を通る直線について

質問

2直線の交点を通る直線について、ある予備校の講座でこのように習いました。

『L1：ax+by+c=0 L2：dx+ey+f=0として、L1とL2の交点を通る直線はax+by+c+k(dx+ey+f)=0　(k:定数)、またはL2自身で表現できる』

ここで質問です。
(1)　このkというのは何を示しているのでしょうか？
(2)　『またはL2自身』とはどういうことでしょうか。

以前、ある教師に質問したのですがいまいちピンときませんでした。
わかりやすく教えていただけるようお願いしますm(_ _)m

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

L１とL2の交点Ｐ（x1、y1）では
ax1+by1+c=0、dx1+ey1+f=0が成り立ちます

よって、ある定数i、jをおくと
i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立ち（∵どのようにi、jを置いてもax1+by1+c=0、dx1+ey1+f=0なので成り立つ）
これは任意のi、jを置くことで交点Ｐを通るすべての直線を表すことができます

i≠0の時
i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0の両辺をiで割って
(ax+by+c)+(j/i)(dx+ey+f)=0となり、j/i=kと置けば今回の式になります

i＝０の時
j(dx+ey+f)=0→dx+ey+f＝０（j＝０だと、０＝０になるので）
となり、これはL2の式と同一つまり、Ｌ２自身を示していることになります

ちょっと適当な説明ですが、こんな感じでお分かりになりましたでしょうか

回答No.4

arrysthmia

(2) については、
No.3 よりも No.1 を参考にしたほうが吉いと思います。

i (ax+by+c) + j (dx+ey+f) = 0 の i, j の由来ですが、
このように考えてはどうでしょう？

L1 と L2 の交点を (p,q) と置くと、この点を通って
方向ベクトルが ↑n である直線は、
(x,y) = t ↑n + (p,q),　t は実数値をとる媒介変数
と表示できます。

L1 の方向ベクトル (b,-a) と
L2 の方向ベクトル (e,-d) が一次独立（平行でない）であれば、
この二つを使って ↑n = i (b,-a) + j (e,-d) と表す i, j
が在ります。

(x,y) = t { i (b,-a) + j (e,-d) } + (p,q) から t を消去して
x, y の方程式にすると、
i (ax+by-ap-bq) + j (dx+ey-dp-eq) = 0 となります。
L1, L2 の式を使って p, q を消去すれば、
i (ax+by+c) + j (dx+ey+f) = 0 です。

このようにすれば、i, j (そして j / i である k も) の意味や、
i, j が同時に 0 にはできない理由などが、図で浮かぶのでは
ないでしょうか。

回答No.3

Mr_Holland

＞『L1：ax+by+c=0 L2：dx+ey+f=0として、L1とL2の交点を通る直線はax+by+c+k(dx+ey+f)=0　(k:定数)、またはL2自身で表現できる』

　この記述の後半にある「または」は「かつ」の誤りではないでしょうか。

　前半の「L1：ax+by+c=0 L2：dx+ey+f=0」は、変数ｋを用いて、次のｋについての恒等式と同値変形できます。

　　ax+by+c+k(dx+ey+f)=0　　・・・・　☆

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/kotosiki/kotosiki.htm

　つまり、式☆は、任意のｋで成り立つ式です。
　いま、２つの直線Ｌ１とＬ２が平行でなく、かつ一致もしなければ（つまり、交点が必ずあるということ；　ａ：ｂ≠ｄ：ｅ）、式☆は、２つのｋの値（ｋ１、ｋ２）を選んでも同値関係は崩れません。

　さて、与えられた命題の後半ですが、「ax+by+c+k(dx+ey+f)=0　(k:定数)」と書かれていますので、ここではｋの値は１つだけ（ｋ１）を設定することを考えているようです。
　しかし、これだでけではもう１つのｋの値がないので、同値関係が崩れてしまいます。
　そこで、別の付加条件が必要になるのですが、それが「＜かつ＞L2自身」つまり「＜かつ＞L2：dx+ey+f=0」という条件を追加したわけです。
　付加条件として「L2：dx+ey+f=0」を選んだ理由は、ｋ１は何を選んでも良いのですが、もしｋ１＝０を選んだ場合、直線Ｌ２の情報が消されてしまいます。それを防ぐために「L2：dx+ey+f=0」を付加条件として追加したのだと思います。

　なお、上記のことは、＃１さんのように２変数ｉとｊを使って考えが方が分かりやすいかもしれません。

　　「L1：ax+by+c=0　かつ　 L2：dx+ey+f=0」
　⇔任意のｉ、ｊについて、i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立つ。
　⇔２組のある（ｉ，ｊ）の組み合わせ（ただし、比ｉ：ｊは異なる）について、i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立つ。
　⇔ｉ：ｊ＝１：ｋとなる（ｉ，ｊ）と、ｉ＝０となる（ｉ，ｊ）について、i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立つ。
　⇔(ax+by+c)+k(dx+ey+f)=0　かつ　dx+ey+f=0　が成り立つ。

　そのため、ご質問については、次のような回答になります。

（１）　ｋは、恒等式：ax+by+c+k(dx+ey+f)=0　の変数です。
（２）　『またはL2自身』とは、『＜かつ＞L2自身』の誤りだと思います。
　　　また、『L2自身』とは　L2：dx+ey+f=0　のことです。

回答No.2

mister_moonlight

所謂、直線束の知識の事。

ax+by+c＝0とdx+ey+f＝0が交点を持つなら、kにいろんな実数値を与える事により、（ax+by+c）＋k（dx+ey+f）＝0　‥‥(1)　は、その2直線の交点を通る直線群を表す。
但し、（予備校の講座は正しくないが）、(1)は直線：dx+ey+f＝0自身を表す事は出来ない。
もし、dx+ey+f＝0自身も表すようにしたいならば、m*（ax+by+c）＋k*（dx+ey+f）＝0　（mとkは任意の実数で、同時には0にならない）としなければならない。

（例）

2直線：7x+5y+3＝0と6x＋11y-4＝0　の交点を通る直線の中で、直線：6x＋11y＝0に平行なものを求めよ。

これを予備校の講座のように処理しようとしたら、解けない。

正解：6x＋11y-4＝0