やっぱりナゾの「円を直線で切り取った線分の長さの最小」

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4122115.html
こちらで皆様から親切な回答をいただいたにもかかわらず、まだ分からないです・・・

問）　円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。

１）lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
２）lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。

解答）
１）l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP（３，６）

２）円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定）が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4

よって、PQ垂直ｌとなるｋが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4

皆様からご教授頂き、図に描いてみたりしてそれとなく理解はできたのですが、やっぱりＰＱ垂直ｌのときｄが最大となるのはナゾです・・・

疑問の一つは、(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)はｋによって自由に動きますよね？でしたら、ＰＱ垂直ｌ以外の時、例えばＲＱ垂直ｌの時に最大になるときがあるかもしれないと思うのです。

Ｑからｌへの垂線を引いた点をＰ’とし、距離Ｐ’Ｑをdとすると、「d≦ＰＱ」→「垂直の線分≦斜めになっている線分」と言いたいのは分かるのですが、
わざわざ定点Ｐを使って、Ｐ’＝Ｐの時、つまりＰＱ垂直ｌの時に最大にしてしまうのは、よく分からないのです・・・
例えば、Ｐよりもう少し横に行って離れた（遠い）Ｒがあれば、Ｐ’＝Ｒの時、つまりＲＱ垂直ｌというＲがあればそれが最大となるのではないのでしょうか？

頭悪くて、本当に申し訳ないです・・・>_<、

回答No.4

info22 · ベストアンサー

lが円内の定点Pと円の中心Qを通る時、lが円Cに切り取られる線分（弦）は直径になりますから、線分長（弦）は最大になります。この時はd=0(lが円の中心Qを通るため)

線分lを直径の位置(lとPQが重なる位置)から回転して行くと、切り取られる線分長（弦）は直径から徐々に減少し、l⊥PQの位置で切り取られる線分（弦）の長さが最小になり、その位置を過ぎると切り取られる線分長（弦）が回転とともに増加して行き、再度lとPQが重なり、線分長（弦）は直径に戻ります。

以上から
線分長（弦）が最小になる時は、l⊥PQの時になります。
お分かりですか？

弦（lが切り取られる線分長）が最小の時、弦と円の距離dが最大になることはお分かりですね。

弦が最小の時がPQ⊥lの時ですから
これ以外の位置のPを通る弦は、必ずPQ⊥lの時より長くなります。
弦が長くなればdが短くなります。
お分かりですか？

従って、弦が最小になる、PQ⊥lの位置で、dが最大になるといえるのです。

まだお分かりでなければ
繰り返し読んでいただけば理解できると思います。

お礼

返事が遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。
とても分かり易くて、ちょっぴり感動しました。
定点Pというのは、その場所を通る＝そこを中心に回るという意味なんですね。
そう考えてみると、確かにPQ⊥lのときが、最短になりますよね。

絵に描いたり、鉛筆をくるくるしたり、ゆっくり考えてみました。
落ち着いて、図形的に考えると必ず分かるものなのですね！

どうもありがとうございました

回答No.3

take_5

前の質問での、私の回答への返信に次のように書いてあった。

＞ワタシの参考書の回答がなぜこんな方法で解いているのか分からないです・・・

数学の問題は、1つの問題に１つの方法しかないという方が珍しい。
今は頭に血が上って頭が冷静ではなくなっているようだから、無理して今理解しなくても良い。
だから、私が示した方法なら理解できるなら、今はそれで理解しておいて、少し日にちを置いて、頭を冷静にして再度考えたら良い。

そうやって苦しむ事が、自分にプラスになる。

補足

やっと理解できました。
落ち着いて、ゆっくりと考えてみる事ってやっぱり大切ですね。
私にはまだ「ひとつの問題＝ひとつの方法」であっぷあっぷです・・
早く皆様のように素敵に解ける様になりたいです。

どうもありがとうございました♪

回答No.2

Meowth

Qを中心としてPを通る円C'を描く（円Cと同心円）
P以外でｌと直交する点をP'（かRか）
とすれば、QP'PはQPを斜辺とする直角三角形
OP≧OP'
等号は三角形がつぶれてP=P'のとき
この図で、
例えば、Ｐよりもう少し横に行って離れた（遠い）Ｒがあれば、Ｐ’＝Ｒの時、つまりＲＱ垂直ｌというＲがあればそれが最大となるのではないのでしょうか？
のとり方を説明してください。直角三角形で
斜辺より長い底辺OP'（このときP’はC'の外側？）
は取れないはず。

お礼

お返事ありがとうございます。

ゆっくりと、色々なときの場合を、絵にしてみたところ斜辺より底辺となるOPは取れないです。
「定点を通る直線」に対する図形的な知識が無かったので、混乱してしまいました。
皆様にご迷惑をかけてしまって申し訳ないです>_<、
とても分かりやすい説明をありがとうございました♪

回答No.1

Quattro99

P以外の点RでRQとlが垂直になったとすると、△PQRは∠QRP=90°の直角三角形で、斜辺はPQです。従って必ずPQ＞RQとなり、RQはPQより長くなることは出来ません。

お礼

P以外の点Rとの線分PRが底辺となる直角三角形の斜辺がPQですよね。
確かにPQのときに最大になりますよね・・・

理解できた後に、振り返ると「何でこんなことが分からなかったのかな・・？」って情けなくなってしまいます・・・

とても分かりやすい説明を、何度もありがとうございました。本当に助かりました。