二つの円の交点を通る直線（高校数学II）

質問

2つの円
f(x，y)
g(x，y)
があるとき、二つの交点を通る直線の方程式は
　k・f(x，y)＋g(x，y)＝0　（kは定数）
である。（ただし一次方程式）

と手元の参考書にあります。
この「k」とは何でしょうか？定数ということですが、なんでもいいんでしょうか？

参考書には以下のような問題があります。

今、ＣとＣ1という二つの方程式があります。

Ｃ：x^2＋y^2＝4
Ｃ1：x^2＋y^2－x－2y－11/4＝0

CとC1との交点Ｐ、Ｑを通る直線の方程式は一般に、

k（x^2＋y^2－4）＋（x^2＋y^2－x－2y－11/4）＝0
と書ける。よってk＝－１を代入して、
・・・（以下略）

なぜ最後でいきなりｋ＝－１を代入して、という流れになったのか分かりません。－１という数字はどこにも出てきてません。恣意的な気がしたのですが、なぜでしょうか？kって何？

回答No.1

pocopeco · ベストアンサー

2つの円f(x，y),g(x，y)
があるとき、二つの交点を通る直線の方程式は
　k・f(x，y)＋g(x，y)＝0　（kは定数）
である。（ただし一次方程式）

★一次方程式になるようにk　を代入します。
x^2、y^2　の項をなくすのです。
たとえば　f が　x^2＋y^2＝a^2 のとき、
gが、4x^2＋4y^2－x－2y＝b^2 なら　k=-4
gが、x^2＋y^2－x－2y＝b^2　なら　k=-1
という感じです。

質問の後半のなぜ　k=-1 というのも、
一次方程式になるように、x^2、y^2　の項をなくすために決めたものです。

お礼

お返事有難うございます。

ということはkというのは任意の数字であり、
なおかつ、一次方程式を得るために累乗項を消去できる数字を（解答者の）任意に代入してよい、ということですか？

回答No.2

pocopeco

ということはkというのは任意の数字であり、
なおかつ、一次方程式を得るために累乗項を消去できる数字を（解答者の）任意に代入してよい、ということですか？

そうです。