数学、最大値、最小値

質問

次のx、yの式の最大値・最小値があれば、その値を求めよ。
(1)x≧0、y≧0、2x＋y＝3のとき2 x^2＋y^2
(2)x^2＋y＝4のときx^2＋y^2
(3)4 x^2－4xy＋5 y^2－6y＋2

分からないんです(TT)
教えてくださいm(--)m

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞次のx、yの式の最大値・最小値があれば、その値を求めよ。
＞(1)x≧0、y≧0、2x＋y＝3のとき2 x^2＋y^2
ｙ＝－２ｘ＋３≧０より、ｘ≦３／２　より、
０≦ｘ≦３／２　……（１）
ｋ＝２ｘ^2＋ｙ^2とおくと、
＝２ｘ^2＋（－２ｘ＋２）^2
＝６ｘ^2－１２ｘ＋９
＝６（ｘ^2－２ｘ＋１）－６＋９
＝６（ｘ－１）^2＋３
（１）の範囲で、
ｘ＝１のとき、最小値ｋ＝３　
ｘ＝３／２のとき、ｋ＝９／２
ｘ＝０のとき、ｋ＝９
よって、
最大値９（ｘ＝０，ｙ＝３のとき）
最小値３（ｘ＝１，ｙ＝１のとき）

＞(2)x^2＋y＝4のときx^2＋y^2
ｘ^2＝４－ｙ≧０より、ｙ≦４…（２）
ｋ＝ｘ^2＋ｙ^2とおくと、
＝４－ｙ＋ｙ^2
＝（ｙ^2－ｙ+1/4）－1/4＋４
＝（ｙ－1/2）^2＋15/4
（２）の範囲で、
ｙ＝1/2のとき、最小値ｋ＝１５／４
よって、
最小値１５／４（ｘ＝±√１４／２，ｙ＝１／２のとき）

＞(3)4 x^2－4xy＋5 y^2－6y＋2
４（ｘ^2－ｙｘ＋ｙ^2/4）－ｙ^2＋５ｙ^2－６ｙ＋２
＝４（ｘ－y/2）^2＋４（ｙ^2－(3/2)ｙ＋9/16）－9/4＋２
＝４（ｘ－ｙ/2）^2＋４（ｙ－3/4）^2－１／４
ｘ＝ｙ／２，ｙ＝３／４のとき、最小値－１／４
よって、
最小値－１／４（ｘ＝３／８，ｙ＝３／４のとき）