最小

質問

x＞0,y＞0のとき、
xy=1/4が最大であるとき、1/x+4/yの最小値を求める問題なんですが、

僕は、
相加・相乗平均の関係から、
1/x+4/y≧2√(4/xy)
だから
1/x+4/y≧4/√xy
等号は、1/x=4/yのとき。

そして、分母が最大 xy=1/4 であるとき、最小の値をとるから、
1/x+4/y≧8になってしまいます。
答えは9みたいです。

どこが、おかしいでしょうか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞答えは9みたいです

答が間違い。

＞どこが、おかしいでしょうか？

どこも可笑しくない。

1/x＝a、4/y＝bとすると、a＞0、b＞0、ab≧16　の時、a＋bの最小値を求めると良い。
相加平均・相乗平均から　a＋b≧2√（ab）≧2√16　→　　a＋b≧8.
等号は、a＝b、and、ab＝16　→　x＝1/4、y＝1.

お礼

本当にありがとうございました。すごいわかりやすかったです。

回答No.4

mister_moonlight

相加平均・相乗平均を使わない方法。

条件から、x＞0、y＞0、xy≦1/4.
（1/x）＋（4/y）＝{（1/√x）－（2/√y）}＾2＋4/√xy≧8.
等号は、1/√x＝2/√y、and、xy＝1/4　→　x＝1/4、y＝1

お礼

とても親切にありがとうございました。
また、よろしくおねがいします。

回答No.3

nagi_szn

>1/x+4/y≧4/√xy
>等号は、1/x=4/yのとき。

ここまではokです。
これで、仮定(xy≦1/4)よりこの不等式の右辺の最小値が8なので、1/x+4/y≧8は分かります。
しかし、1/x+4/y=8となるx,y＞0の組がなければ最小値とはいえないので、
そのようなx,yの組を見つけ、実現可能であることを言わなければいけません。実際、そのようなx,y＞0は存在するので最小値は8です。

お礼

大変丁寧にありがとうございました。

回答No.1

info22

>xy=1/4が最大であるとき、
この最大と書いてありますが問題の中での役割が何もありません。
この問題では、単に、
「xy=1/4を満たす場合の」
で置き換えた方が良いと思います。

相加平均≧相乗平均の関係から
>分母が最大 xy=1/4 であるとき、最小の値をとるから、
1/x+4/y≧8になってしまいます。
最小値8で合っています。
答えの9が間違っています。

>等号は、1/x=4/yのとき。
ではだめで,　「x=1/4,y=1のとき」まで求めておかないと減点されますよ。

お礼

素早い解説大変感謝いたします。
また、よろしくおねがいします。