三角形においての最大最小

質問

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三角形ABCにおいて、AB=3、BC=2、CA=4とし、点P,Qをそれぞれ辺AB,AC上にとる。
線分PQが三角形ABCの面積をニ等分するとき、PQの最大値と最小値をもとめよ。
という問題なのですが、
xy=6
という式をだして、
あとはPQについて余弦定理を用いたのですが、
PQ^2=(x-y)^2+15/2
となり、ここからどうやって最小、最大をだせばいいのかわからず困っています。
相加平均・相乗平均を用いてやる。。
というのもかんがえたのですが、
数Iの範囲での問題なので、x=yで最小値
でそのときのx,yの値をだす方法がわかりません・・・
また最大はどのようにだせばいいのか・・
考え方、式等もまちがっていましたらご指摘ください。

回答No.2

take_5

そこまで出たのならば、あとは簡単。

ＰＱ^2=(x-y)^2+15/2＝（ｘ＋ｙ）＾2-4xy＋15/2＝(ｘ＋ｙ)^2－45/2である‥‥(1)。
xy＝6を0≦x≦3、0≦y≦4の範囲でxy平面上に図示して最大値と最小値を考える。
とすると、x＋y＝kとすると、それは直線だから、点（3、2）、or、点（3/2、4）の値の大きい方で最大、直線と双曲線：xy＝6が接する時が最小（値は判別式で出るだろう）とすぐ分る。
結局、2√6≦x＋y≦11/2‥‥(2)となるから、24≦(ｘ＋ｙ)^2≦121/4.
したがって、3/2≦(ｘ＋ｙ)^2－45/2≦31/4。

出来るだけ、最小値と最大値は同じ方法（同じ流れ）の中で求めるのがbetter。

回答No.1

debut

ＡＰ＝ｘ、ＡＱ＝ｙということですよね。
すると、3/2≦ｘ≦３、２≦ｙ≦４という条件がつきます。
なぜなら、ＡＰが3/2より小さくては△ＡＢＣの面積を二等分
する線がひけないから。ＡＱの方も同様。

余弦定理から、
cosＡ＝(9+16-4)/(2*3*4)＝21/24
ＰＱ^2＝ｘ^2＋ｙ^2－２ｘｙ*(21/24)＝ｘ^2＋ｙ^2－21/2
ｙ＝６/ｘより
ＰＱ^2＝ｘ^2＋36/ｘ^2－21/2
相加・相乗平均より、ｘ^2＋36/ｘ^2≧12
ｘ^2＝36/ｘ^2、つまりｘ^4＝36からｘ＝√６のとき
ＰＱ^2は最小値　3/2。

最大の方は、ＰＱ^2＝(ｘ＋ｙ)^2－45/2と変形すれば
ｘ＋ｙが最大のときＰＱ^2も最大になるといえます。
ｘｙ＝６という条件があったので、ｘ＋ｙ＝ｋとおけば
3/2≦ｘ≦３、２≦ｙ≦４において曲線ｙ＝６/ｘと直線
ｘ＋ｙ＝ｋが交わるときのｋの最大を考えればいいこと
になります。
グラフで調べれば、(3/2,4)を通るときｋ＝11/2で最大。
よって、ＰＱ^2の最大は、ｘ＝3/2,ｙ＝４のとき31/4。