数学 ラグランジュの乗数を用いた最大最小問題

質問

数学の問題で困っています。
9x^2 +4y^2 =36 のとき、xyの最大値と最小値を求めよ。

この問題をラグランジュの乗数を用いた連立方程式と元の条件式から、
xyの極値の候補が(x,y)＝(√2，3/√2），(√2，-3/√2），(-√2，3/√2)，(-√2，-3/√2)
の4つであることが分かったのですが、ここからどうやって最大、最小を説明するのかがわかりません。

すなわち
(1)xyの極値の候補が実際に極値であることをどうやって示すのか
(2)極値が最大、最小の値にもなるということをどうやって示すのか

以上の2点で困っています。
詳しい解説お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ラグランジュ乗数法は、拘束条件 g=0 を用いて
目的関数 f の極値を f-λg の極値に転嫁する
計算方法です。f の極大値は f-λg の極大値に、
f の極小値は f-λg の極小値になりますから、
普通に、f-λg の極値判定をすればよいです。
臨界点を求めたときに、∇(f-λg) は求めたはず。
もう一階微分して f-λg のヘッセ行列を求め、
それを係数とする二次形式が定符号であるか否か、
各臨界点上で判定しましょう。
臨界点の座標をヘッセ行列に代入して
具体的な数値行列としてから、固有値を求めて、
全部が同符号かどうかを見ればよいです。

回答No.1

reiman

ラグランジュを使って求めた点はすべての極値の候補を含んでいるので
これ以外に極値は存在しない
9x^2 +4y^2 =36
を満たすのだからx,yはともに有界である
よってxyは最大値と最小値を持つ
xyが最大になる点及び最小になる点はともに極値であるから
求めた極値候補をxyに代入して最も大きくなる点が最大値点であり
最も小さくなる点が最小値点である
（１）の問題はあまり価値が無いので無視